反例與證明數學教案

時間：2022-10-07 19:46:16 教案我要投稿

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反例與證明數學教案

　　一、教材、學情分析：

反例與證明數學教案

　　舉反例和證明同樣重要，注重反例教學以培養學生思維的縝密性、靈活性，以及注重反例構建培養學生思維的發散性、深刻性和創新性在數學教學中的重要性已越來越被人們重視和認可。反例構建還是誘發學生創造力的很好載體。教師在進行教學時，不但要適當地使用反例，更重要的是要善于引導學生構建反例，這實際上是為學生創設了一種探索情境。因此，構建反例的過程也是學生發散思維的充分發揮和訓練過程。

　　二、教學目標：

　　（一）知識與技能

　　通過實際問題的分析，理解反例的意義和作用。掌握在簡單情況下利用反例證明一個命題是錯誤的。

　　（二）教學思考

　　通過判定引入命題的真假培養學生的思維能力; 在思考爭論的過程中，學會合作，交流思想；通過獨立思考與小組合作，小組競賽培養學生獨立自主精神、合作精神和競爭意識；

　　（三）解決問題

　　會利用一些簡單的例子，對一個命題作出合理的解釋判斷與證明；提高他們處理問題和解決問題能力；

　　（四）情感與態度

　　通過數學知識的實際應用，滲透數學來源于生活又應用于生活的思想，體驗學習數學的樂趣，從而激發他們的學習興趣。

　　【教學重點、難點】

　　重點：用反例證明一個命題是錯誤的．

　　難點：如何構造一個反例去證明一個命題是錯誤的．因為要從條件出發又不能使其滿足結論，要求學生對數學概念的理解能力較高。

　　【教學過程】

　　一、談話引入，激發興趣

　　讀一讀：

　　高斯說：“給我最大快樂的，不是已懂得知識，而是不斷地學習；不是已有的東西，而是不斷地獲取；不是已達到的高度，而是繼續不斷地攀登”。

　　師：高斯是偉大的數學家，他告訴我們要不斷學習，學無止境，讓我們繼續不斷地向上攀登吧！

　　（設計意圖：師生交流，聯絡感情，通過一起學習名人名言可縮小師生之間的距離，使學生體會到師生之間是平等的，另一方面通過學習名言可對學生進行思想教育，希望他們能繼續努力，永攀高峰。）

　　二、師生交流，引入新課

　　高斯是偉大的數學家嗎？這句話是命題嗎？

　　（通過它來復習命題的概念，請學生將這句話改成一個命題）

　　高斯是偉大的數學家。再問這個命題正確嗎？（學生答）

　　我們再來判斷下列命題的真假[

　　（1）會飛的動物都是鳥。

　　（學生會說是假命題。）

　　師問：為何是假命題？學生舉出蝴蝶、蒼蠅、蜻蜓等會飛，但不是鳥。

　　（設計意圖：讓學生能夠分辨一個命題的真假，能夠舉出適當的反例。使學生初步有通過舉反例可以說明一個命題是假命題的思想，以便在解決下面三題時能想出舉出反例。）

　　（2）素數是奇數（學生答：假命題，舉例2）

　　（3）黃皮膚、黑頭發的人是中國人（學生答：假命題，舉例韓國人，日本人等）

　　（4）在不同頂點上有兩個外角是鈍角的三角形是銳角三角形（學生答：假命題，等腰直角三角形等）

　　師：我們對真命題的證明，掌握了一定的方法和技能，那么如何來說明一個命題是假命題呢？如上述四個命題你是如何來說明它是假命題的？（學生能夠答：舉個例子說明）

　　今天我們將一起來探討如何說明一個命題是假命題。從而引出課題反例與證明

　　三、師生互動，學習新知

　　1、小組合作，共同進步

　　師生總結：從引例知道判斷一個命題是假命題只要舉出一個例子即可。

　　學生討論：怎么樣例子才能判斷一個命題是假命題？

　　學生分小組討論，教師巡回指導，每小組代表發言

　　師生總結：具備命題條件但不具備命題結論的例子，這樣的例子稱為反例。

　　師：如可以舉2是素數，但不是奇數，從而證明“素數是奇數”是假命題.

　　韓國人，日本人也是黃皮膚、黑頭發的人從而證明“黃皮膚、黑頭發的人是中國人”是假命題。這些例子都符合命題的條件但不具備命題的結論。

　　（設計意圖：讓學生充分討論我們所需要的反例有什么要求，因為舉反例有時比較困難。通過學生激烈的爭論可以給學生一個舉反例的指導方向，學生在爭論中更易接受正確的知識，使學生能在判定具體命題真假時舉出適當反例。）[

　　2、比一比，賽一賽（小組競賽）

　　判斷下列命題是真命題還是假命題，是真命題請證明，是假命題請舉反例.

　　（1）三角形的外角和等于360

　　（2）三線兩兩相交,必有三個交點

　　（3）若ab＜0，則a＞0,b＜0

　　（4）任何三條線段都能組成一個三角形

　　（5）若 x+y=0，則

　　（設計意圖：通過學生競賽，激發學生學習興趣。趁熱打鐵，及時鞏固，培養學生的動手能力和應用知識解決問題的能力，讓學生能夠分辨一個命題的真假，對真命題能夠證明，對假命題能夠舉出適當的反例）

　　3、設置一個互動游戲：讓一個學生出一個命題，另一學生判斷真假。

　　（設計意圖此處設置互動游戲，一方面是為了更好地以另一種方式促進學生的學習參與，另一方面也是為了調節課堂的氣氛，因為這段時間學生在下午的學習總是感覺疲勞，興趣不是很高，這樣就可以更好地促進學生，調節氣氛。）

　　師：我們已經能舉出反例說明一個命題是假命題，如何在解題過程中將反例用數學語言規范的表述，請同學們嘗試解決以下兩題。

　　例題：判斷下列命題的真假，并給出證明(第一題較簡單學生易舉出反例，第二題學生需要構造出圖形較為困難，老師巡視時給予適當引導。)

　　（1）若2 x + y = 0，則x = y = 0

　　（2）有一條邊、兩個角相等的兩個三角形全等

　　學生先自主解決，然后小組內交流糾錯。老師巡視發現學生的表述不規范之處，予以糾正。挑出學生解題中普遍存在問題，用投影儀集體糾錯，規范解題步驟。

　　（設計意圖：學生先嘗試數學問題中反例的表述，使學生感覺到學習并不是一件很容易或很困難的事情。然后通過合作學習，為每位學生提供交流的空間，讓他們能積極參與，勇于發表自己的觀點，幫助其他同學修正錯誤，給學生以成就感。）

　　幻燈片給出具體解題過程

　　解（1）是假命題。

　　取x = -1 , y = 2 ，

　　則2 x + y = 2 （-1）+ 2 = 0

　　但x0且y0。

　　即x = -1，y = 2 具備2 x + y = 0 的條件，

　　但不具備命題的結論，

　　所以此命題為假命題

　　（2）假命題。

　　如圖：△ABC和△ABC中，

　　A=75

　　C=45

　　AB=AB=2.5cm

　　但很明顯△ABC和△ABC不全等，

　　所以此命題為假命題

　　例題小結：如果要證明或判斷一個命題是假命題，那么我們只要舉出一個符合題設而不符合結論的例子就可以了。涉及數的問題舉出一些特殊值，一些幾何問題可以構造出適當幾何圖形，構造的圖形也是解題的步驟，需要輔助幾何表述，才能成為解題過程。

　　四、應用新知，體驗成功

　　（設計意圖：學生能夠分辨一個命題的真假，對真命題能夠證明，對假命題能夠舉出適當的反例。代數問題稍好解決，幾何問題構造圖形是學習中較為難解決的問題，予以適當強化。）

　　判斷命題“兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等”的真假，并給出證明。（學生小組討論，構造反例。）

　　老師分析引導：這是一個假命題，要證明它是一個假命題，關鍵是看如何構造反例。

　　（老師巡視挑出解答較好的兩個反例投影展示，請學生介紹解題思路。老師點評并做補充。）

　　本題可以從以下兩方面考慮，如圖444（1）三角形ABC中，AB=AC，在底邊BC延長線上取點D，連DA，這樣在△ADB和△ADC中，AD=AD，D，AB=AC，顯然觀察圖形可知△ADB與△ADC不全等，或者，在BC上任取一點E（E不是中點），如圖4-4-4（2），則在△ABE和△ACE中，AB=AC，C，AE=AE，顯然它們不全等。

　　解這是一個假命題，證明如下：

　　如圖444（1），在 △ABC中，AB=AC，延長CB到D，連結AD。

　　則AB=AC，（已知）

　　AD=AD，（公共邊）

　　D=D，（公共角）

　　但△ADB與△ADC不全等。

　　評注能舉反例說明一個命題是假命題，反例不在于多，只要能找到一個說明即可。

　　五、課堂小結，形成系統

　　暢所欲言：通過這節課的學習，談談你的收獲與體會。

　　（設計意圖：讓學生自己總結本堂課的得失，一方面培養學生善于總結反思的良好習慣；另一方面可以提高學生的語言表達能力，為自己和其他同學梳理了知識體系，使其系統化，起到畫龍點睛的作用。）

　　老師給出本節知識點：1、判斷一個命題是假命題只要舉出一個反例即可。

　　2、反例是具備命題條件但不具備命題結論的例子。