向量的概念及表示教學教案

　　作為一名教師，很有必要精心設計一份教案，教案是實施教學的主要依據，有著至關重要的作用。那么優秀的教案是什么樣的呢？以下是小編精心整理的向量的概念及表示教學教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　向量的概念及表示教學教案 1

　　【學習目標】

　　要求學生掌握向量的意義、表示方法以及有關概念，并能作一個向量與已知向量相等，根據圖形判定向量是否平行、共線、相等。

　　一、知識梳理

　　1．數量：僅用一個實數就可以表示的量叫數量。如距離、時間、面積等。

　　2． 向量： 叫向量。如物理中的位移、速度、力等。

　　3．向量的表示：常用一條有向線段來表示，

　　有向線段的長度表示向量的大小，箭頭表示所指的方向。

　　以A為起點。以B為終點的向量記為 ，也可以用 來表示。如

　　注：兩個向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小。

　　4．向量 的 叫向量的模。記為

　　5．特殊向量：零向量：

　　單位向量：

　　6．平行向量：

　　規定：零向量與任一向量平行

　　7．相等向量：

　　8．共線向量：任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上。 故平移向量又稱共線向量

　　9．相反向量：我們把與 的向量叫做 的相反向量-

　　規定：零向量的相反向量仍是零向量

　　二、基礎訓練

　　1．下列各題中，哪些是數量，哪些是向量？

　　質量，密度，角，位移，距離，浮力，速度，功，加速度，溫度，電流強度，濃度，向心力

　　2．判斷下列說法是否正確，并說明理由。

　　（1）溫度有零上和零下之分。所以溫度是向量 （ ）

　　（2） =0 （ ）

　　（3）共線向量就是平行向量 （ ）

　　（4）若 ， 為非零向量，且 = ，則 = （ ）

　　（5）若 =- 則 ∥ （ ）

　　（6）對任意向量 ， ， ，若 = ， = ，則 = （ ）

　　（7）對任意向量 ， ， ，若 ∥ ， ∥ ，則 ∥ （ ）

　　（8）平行向量方向一定相同 （ ）

　　（9）共線向量一定在同一條直線上 （ ）

　　（10）若 = 則 ∥ （ ）

　　三、典型例題

　　例1．已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖中所標出的向量中；

　　（1）試找出與 共線的向量

　　（2）確定與 相等的向量

　　（3） 與 相等嗎？

　　例2、如圖，△ABC和△ 是在各邊的 相交的

　　兩個全等的正三角形，設正△ABC的邊長為a，圖

　　中列出了長度均為 的若干個向量。

　　求：（1）與 相等的向量；

　　（2）與 共線的向量；

　　（3）與 平行的向量。

　　例3、在圖4 5的方格紙中有一個向量 ，分別以圖中的格點為起點和終點，其中：

　　（1）與 相等的向量有多少？

　　（2）與 長度相等的共線向量有多少？

　　(3) 與 共線的向量有多少？（ 除外）

　　三．課后作業：

　　1、下列命題中，正確的是

　　A B

　　C D

　　2、下列命題中真命題為

　　①向量 的長度與向量 的'長度相等；

　　② ，則 的方向相同或相反；

　　③兩個有共起點且相等的向量，其終點必相同；

　　④兩個有共起點且相等的向量，一定是共線向量；

　　⑤ 與 是共線向量，則點A、B、C、D必在同一直線上；

　　⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段。

　　3、設O為 的重心，則 是

　　A 相等向量 B 平行向量 C 模相等向量 D 終點相同的向量

　　4、設ABCD為正方形，則可用同一條有向線段表示的兩個向量為

　　A 和 B 和 C 和 D 和

　　5、若 是兩個不平行的非零向量，并且 ，則 =

　　6、已知ABCD為菱形， =1， ，求 ，

　　7、在梯形ABCD中，若E，F分別為腰AB、DC的三等分點，且 =2， =5，求 。

　　8、在直角坐標系中，畫出下列向量：

　　（1） =2， 的方向與x軸正方向的夾角為 ，與y軸正方向的夾角為 ；

　　（2） =4， 的方向與x軸正方向的夾角為 ，與y軸正方向的夾角為 ；

　　（3） =4 ， 的方向與x軸正方向的夾角為 ，與y軸正方向的夾角為 ；

　　9、如圖，D、E、F分別是 的三邊AB、BC、AC的中點，以A、B、C、D、E、F中的一點為始點，而另一點為終點的向量中：

　　（1）寫出與 相等的向量；

　　（2）寫出與 共線的向量。

　　10、如下圖，每格點邊長為0.5，以圖中各格點為起點和終點的向量中，與向量 相等的向量共有幾個？與向量 平行且模為 的向量共有幾個？與向量 方向相同且模為 的向量共有幾個？

　　11、一輛汽車從A點出發向西行駛了100公里到達B點，然后又改變方向向西偏北 走了200公里到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100公里到達D點。

　　（1）作出向量 ；

　　（2）求 。

　　算法案例

　　1.3 案例算法

　　案例1 輾轉相除法與更相減損術

　　1、在對16和12求最大公約數時，整個操作如下：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），由此可以看出12和16的最大公約數是（ ）

　　A、 4 B、 12 C、 16 D、 8

　　2、下列各組關于最大公約數的說法中不正確的是（ ）

　　A、16和12的最大公約數是4 B、78和36的最大公約數是6

　　C、85和357的最大公約數是34 D、105和315的最大公約數是105

　　3、我國古代數學家求兩個正整數最大公約數的算法，被稱為 ，又稱為

　　4、運算速度快是計算機一個很重要的特點，而算法好壞的一個重要標志是

　　5、算法

　　Ｓ１ 輸入，ｘ，ｙ

　　Ｓ２ ｍ＝ｍａｘ{ｘ，ｙ}

　　Ｓ３ ｎ＝ｍｉｎ{ｘ，ｙ}

　　Ｓ４ 若ｍ／ｎ＝[ｍ／ｎ]（[ｘ]表示ｘ的整數部分）

　　則輸出ｎ，否則執行Ｓ５

　　Ｓ５ ｒ＝ｍ－[ｍ／ｎ]＊ｎ

　　Ｓ６ ｍ＝ｎ

　　Ｓ７ ｎ＝ｒ

　　Ｓ８ 執行Ｓ４

　　Ｓ９ 輸出ｎ

　　上述算法的含義是 。

　　6、試寫出一個算法，并畫出流程圖，使得能夠輸入n個正整數值，即可求出它們的最大公約數。

　　7、用當型和直到型語句，寫出求兩正整數的最大公約數的算法程序。

　　8、求兩個整數ｘ（ｘ≥０）和ｙ（ｙ＞０）的整數商和余數（規定只能用加法和減法運算）。

　　9、試用更相減損術求80和36的最大公約數。

　　參考答案

　　1.A

　　2.C

　　3、更相減損之術 等值算法

　　4、運算次數

　　5、求ｘ，ｙ的最大公約數

　　6、略解：

　　Read n ,a

　　For i=2 to n

　　Read b

　　If a

　　Do

　　r=mod(a,b)

　　a=b:b=r

　　Loop Until r=0

　　If a=1 then prind a

　　Goto End

　　Next i

　　Print a

　　End

　　7、

　　INPUT ｍ，ｎ

　　（當型） ｒ＝ｍ／ｎ的余數

　　ＷＨＩＬＥ ｒ≠０

　　ｍ＝ｎ

　　ｎ＝ｒ

　　ｒ＝ｍ／ｎ的余數

　　ＷＥＮＤ

　　ＰＲＩＮＴ ｎ

　　ＥＮＤ

　　（直到型）

　　INPUT ｍ，ｎ

　　ＤＯ ｒ＝ｍ／ｎ的余數

　　ｍ＝ｎ

　　ｎ＝ｒ

　　ＬＯＯＰ ＵＮＴＩＬ ｒ＝０

　　ＰＲＩＮＴ ｍ

　　ＥＮＤ

　　8、

　　解：算法：

　　Ｓ１ 使ｑ＝０，ｒ＝２

　　Ｓ２ 當ｒ≥ｙ時，重復下面操作

　　Ｓ３ ｒ＝ｒ－ｙ

　　Ｓ４ ｑ＝ｑ＋１

　　Ｓ５ 輸出ｘ

　　程序框圖

　　INPUT ｑ＝０

　　ｒ＝ｘ

　　ｙ＝ｙ

　　ＤＯ ｒ＝ｒ－ｙ

　　ｑ＝ｑ＋１

　　ＬＯＯＰ ＵＮＴＩＬ ｒ≥ｙ

　　ＲＩＩＮＴ ｒ

　　ＥＮＤ

　　9、

　　解：80-36=44，

　　44-36=8，

　　36-8=28，

　　28-8=20，

　　20-8=12，

　　12-8=4，

　　8-4=4。

　　因此80和36的最大公約數是4。

　　向量的加減法運算

　　泗縣三中教案、學案：向量的加減法運算

　　年級高一學科數學題向量的加減法運算

　　授時間撰寫人劉艷宏時間

　　學習重點用向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個向量的和與差向量

　　學習難點理解向量加減法的定義.

　　學 習 目 標

　　⑴掌握向量加法的定義

　　⑵會用向量加法的三角形法則和向量的平行四邊形法則作兩個向量的和向量

　　⑶理解向量加法的運算律

　　教 學 過 程

　　一、自 主 學 習

　　向量的三角形及平行四邊形法則

　　向量的反向量

　　向量加法與減法的幾何意義

　　二、師 生 互動

　　例1如圖5，O為正六邊形 的中心，試作出下列向量：

　　（1） ；

　　（2） ；

　　（3） ；

　　（4） ；

　　（5）

　　例2 在 中， 是重心， 、 、 分別是 、 、 的中點，化簡下列兩式：

　　練習。設 ， ， ，試用 表示 .

　　三、鞏 固 練 習

　　1. 平行四邊形 中， ， ，則 等于（ ）.

　　A. B. C. D.

　　2. 下列等式不正確的是（ ）.

　　A. B.

　　C.

　　D.

　　3.在 中， 等于（ ）.

　　A. B. C. D.

　　4. = ；

　　5. 已知向量 、 滿足 且 ，則 = .

　　6. 在 中， ，則 等于（ ）.

　　A. B. C. D.

　　7. 化簡 的結果等于（ ）.

　　A. B. C. D.

　　8. 在正六邊形 中， ， ，則 = .

　　9. 已知 、 是非零向量，則 時，應滿足條 .

　　四 后 反 思

　　五 后 鞏 固 練 習

　　1. 已知 是 的對角線 與 的交點，

　　若 ， ， ，

　　試證明： .

　　2. 在菱形 中， ， ，求 的值.

　　不等式與不等關系

　　向量的概念及表示教學教案 2

　　一、教學目標

　　理解向量的概念，掌握向量的幾何表示和字母表示。

　　了解零向量、單位向量、平行向量、相等向量等特殊向量的概念。

　　培養學生的觀察能力、抽象概括能力和邏輯思維能力。

　　二、教學重難點

　　重點：向量的概念、向量的幾何表示和字母表示。

　　難點：理解向量的概念，區分向量與數量的不同。

　　三、教學方法

　　講授法、討論法、演示法。

　　四、教學過程

　　導入新課

　　通過實例引入向量的概念，如力、位移等。

　　讓學生思考這些物理量的共同特點，引出向量的概念。

　　講解向量的概念

　　向量是既有大小又有方向的量。

　　與數量進行對比，強調向量與數量的不同之處。

　　向量的幾何表示

　　用有向線段表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。

　　演示如何用有向線段表示向量，讓學生動手畫一些向量的.幾何表示。

　　向量的字母表示

　　用小寫字母 a、b、c 等表示向量，手寫時在字母上方加箭頭。

　　舉例說明向量的字母表示方法。

　　特殊向量的概念

　　零向量：長度為 0 的向量，記作 0。

　　單位向量：長度為 1 的向量。

　　平行向量：方向相同或相反的非零向量。

　　相等向量：長度相等且方向相同的向量。

　　課堂練習

　　讓學生判斷一些向量是否相等、平行等。

　　給出一些向量的幾何表示，讓學生用字母表示出來。

　　課堂小結

　　回顧向量的概念、幾何表示和字母表示。

　　強調特殊向量的概念。

　　布置作業

　　書面作業：完成課后習題。

　　拓展作業：尋找生活中的向量實例。

　　向量的概念及表示教學教案 3

　　[教學目標]

　　一、知識與能力：

　　理解向量、零向量、單位向量、平行向量的概念：掌握向量的幾何表示，會用字母表示向量；理解相等向量與共線向量的含義.

　　二、過程與方法：

　　通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景；滲透數形結合的數學思想方法.

　　三、情感、態度與價值觀：

　　培養對現實世界中的數學現象的好奇心，學習從數學角度發現和提出問題．

　　[教學重點]

　　向量的概念，向量的幾何表示．

　　[教學難點]

　　向量的概念．

　　[教學要求]

　　向量概念的教學應從物理背景和幾何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，幾何背景是有向線段。了解這些物理背景和幾何背景，對于學生理解向量和運用向量解決實際問題都是十分重要的。

　　[教學過程]

　　一、創設情境，新課引入

　　問題1：我們已經知道位移是既有大小，又有方向的量。請再舉出一些這樣的量．

　　學生思考討論，舉出物理學中既有大小，又有方向的量，例如力，包括重力G、浮力F、拉力F等。

　　在學生討論的基礎上，抽象概括出向量的概念：

　　數學中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，沒有方向的量，稱為數量（或標量）。

　　教師提問，學生回答，并再次強調向量的兩要素。有學生總結判斷方法。

　　判定下列各量中哪些是向量：（1）浮力；（2）密度；（3）質量；（4）路程；（5）面積；（6）電流強度.

　　二、師生互動，新課講解：

　　向量的表示

　　1．幾何表示：用有向線段表示向量，以為起點，為終點的向量記作向量，注意起點在前，終點在后。

　　2．字母表示：印刷體可用黑體小寫字母表示向量，手寫時寫成帶箭頭的小寫字母，如。

　　3．圖示表示：

　　4．向量的模

　　向量的長度稱為向量的模，如向量的模記作，向量的模記作。

　　零向量：長度等于0的向量叫做零向量，記作。

　　單位向量：長度等于1的向量叫做單位向量。

　　思考：兩個向量能否比較大小？兩個向量的模能否比較大小？

　　5．平行向量（共線向量）

　　方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量平行，通常記作。

　　規定：零向量與任一向量平行，即對于任意向量，都有。

　　例1（課本P75例1）試根據圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示地至兩地的位移，并求出地至兩地的實際距離（精確到1km）。

　　變式訓練1：

　　（1）某人東行100米，后轉南行米，則這時他位移的方向是__________.（東偏南）

　　（2）某人向正東方向走3千米，再向正北方向走4千米，此人走過的路程是________，其位移的長度是___________.（7千米、5千米）

　　6．相等向量的概念

　　長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

　　如圖，有向線段表示的向量a與b相等，記作a=b.

　　任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關。平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定。

　　提出問題：怎樣的向量是相等向量？教師演示，讓學生歸納定義。

　　7．共線向量

　　如圖，a,b,c是一組平行向量，任作一條與a所在直線平行的直線l，在l上任取一點O，則可在l上分別作出a，b，c，可見任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量。

　　例2：

　　（1）向量和向量，這兩個向量相等嗎？這兩個向量的模相等嗎？

　　（2）用有向線段表示兩個相等的向量，如果它們的起點相同，那么它們的終點是否相同？

　　（3）如果，四邊形一定是平行四邊形嗎？

　　變式訓練2：

　　（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

　　（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

　　（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

　　（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

　　（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量）

　　（6）兩個非零向量相等的當且僅當什么？（長度相等且方向相同）

　　（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）

　　例3：判斷下列說法是否正確，并說明理由：

　　（1）方向相同或相反的非零向量叫平行向量；（V）

　　（2）長度相等且方向相同的向量叫相等向量；(V)

　　（3）向量的模是一個正實數；(x)

　　（4）若|a|=|b|，則a=b或a=-b；(x)

　　（5）零向量只有大小沒有方向。(v)

　　變式訓練3：下列各種情況中向量終點各構成什么圖形？

　　（1）把所有單位向量起點平移到同一點；

　　（2）把平行于某一直線的所有單位向量的起點平移到同一起點；

　　（3）把平行于某一直線的一切向量平移到同一起點.

　　解：（1）單位圓；

　　（2）兩個點（相距兩個單位長度）；

　　（3）構成一條直線.

　　例4（課本P76例2）如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與相等的向量.

　　解：

　　變式訓練4：下列命題正確的`是（C）

　　A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線

　　B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點

　　C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量

　　D.有相同起點的兩個非零向量不平行

　　課堂練習2：課本P77練習NO：1、2、3

　　三、課堂小結，鞏固反思

　　1．在不改變長度和方向的前提下，向量可以在空間自由移動；

　　2．相等向量：長度（模）相等且方向相同的向量；

　　3．共線向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量。

　　四、課時必記：

　　1、向量2、零向量、單位向量概念：

　　3、平行向量：4、相等向量：

　　5、共線向量與平行向量關系：

　　五、分層作業：

　　A組：

　　1、（課本P77習題2.1 A組NO：1）

　　2、（課本P77習題2.1 A組NO：2）

　　3、（課本P77習題2.1 A組NO：3）

　　4、（課本P77習題2.1 A組NO：4）

　　5、（課本P77習題2.1 A組NO：5）

　　6、（課本P77習題2.1 A組NO：6）

　　B組：

　　1、（課本P77習題2.1 B組NO：2）

　　2．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.

　　①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；（ ）

　　②單位向量都相等；（ ）

　　③任一向量與它的相反向量不相等；（ ）

　　④四邊形ABCD是平行四邊形當且僅當＝；（ ）

　　⑤一個向量方向不確定當且僅當模為0；（ ）

　　⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同。（ ）

　　解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上.

　　②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.

　　③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的

　　④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.

　　3、下列關于零向量的說法中，錯誤的是（B）。

　　（A）零向量的長度為零（B）零向量是沒有方向的

　　（C）零向量的方向是任意的（D）零向量與任一向量平行

　　4、命題中，不正確的是（D）。

　　（A）向量的長度與向量的長度相等。

　　（B）任一非零向量都可以平行移動。

　　（C）兩個相等的向量，若它們的起點相同，則其終點也相同。

　　（D）長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量。

　　5、如圖中DE//BC，則下列結論正確的是（A）。

　　（A）和共線（B）和共線

　　（C）和共線（D）和共線

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