代數問題幾何建模策略

　　代數問題幾何建模策略【1】

　　摘 要:利用代數問題的幾何信息,建立模型,給出一些代數問題的解題策略。

　　關鍵詞:代數問題 幾何建模 策略

　　代數問題幾何建模是根據代數命題蘊含的特征或性質,運用適當數學變換,將代數命題表述為等價的幾何命題,再借助幾何直觀性探尋解題途徑,從而解答代數命題的一種方法。運用這種方法解題,必須審清題意,挖掘明顯或隱含的條件,找到恰當的切入點,進行聯想、類比,進而轉化。

　　題目I:已知a,b,c,d為正數,,ac=bd,求證a=d,b=c

　　建模策略:從題目本身出發,尋求解答難以找到突破口,注意到,如果把a,b,c,d分別看作兩個直角三角形的直角邊,,分別表示這兩個直角三角形的斜邊的平方,建立如圖1幾何模型。利用RtABC與RtADC相似得其全等,AB=AD,BC=CD,即a=d,b=c。

　　題目Ⅱ:求的最小值,a、b、c是正數。

　　建模策略:表達式與兩點間距離公式很相似,可將其看作動點M(x、o)到兩定點A(o,a),B(c,-b)的距離的和,則只有這三點共線時才可能最小,由平面內三點共線的充要條件或者由三點共線知KMA=KAB,易得,代入原式化簡得當且僅當時,取得該值。

　　可見,代數問題幾何建模策略構思精巧,不僅能化繁為簡,化抽象為直觀,而且能觸類旁通,鍛煉思維能力,增強學習興趣。其關鍵在于尋找有效的數形結合模型,一般思路是(圖2)。

　　1平面幾何建模

　　就是為代數問題建立平面幾何模型,像題目I。

　　代數中的等式和不等式反映出來的是線段間的等量或不等量關系,根據這一特征,可用比較基本的知識點(如直角三角形、相似三角形的有關知識,平行線、圓的切割線、相交弦、射影定理,三角形的邊角不等關系,面積總量等于各面積分量之和等)對某些代數問題建立幾何模型。最常見有如下基本模型。

　　2解析曲線建模

　　題目Ⅴ:解方程

　　建模策略:將原式變形為。

　　取y2=4,則有。

　　這恰是以(1,0)、(11,0)為焦點,8為實長軸,中心在(6,0)的雙曲線方程。由雙曲線定義可得雙曲線方程為,代y2=4于方程得,即為所求的方程解。

　　這種經變形可轉化為解析曲線中的某些線量的代數問題,一般利用解析曲線的性質求解,其幾何建模常見的有:三點共線(如題目Ⅱ),不同方程表爾同一曲線,直線斜率相等(題目Ⅱ),兩點間距離、圓錐曲線的定義及其性質等。

　　3直曲交軌建模

　　這是一種最常用的方法。它要根據圓錐曲線與直線的位置關系及其所反映的性質來探求解答思路。

　　題目Ⅵ:求函數的定義值域

　　建模策略:構造直線L:s=yt,使t=x+2,,則s2=t-1(s≥0)是與L有公共點P(x+2,)的拋物線弧M,作圖(圖3)并由圖知,當直線L在第一象限且處于t軸與相切時的切線之間時,L和M才有公共部分。

　　因此,0≤y≤K切(y為直線L的斜率)。

　　而過點(0,0)與拋物線s2=t-1(s≥0相切的切線方程為,這種策略需要根據己知條件或命題的特征,構造過定點的直線和曲線方程,然后利用它們所表示的關系(相切、相交、共同圍成的區域、距離等)來進行幾何論證。常用于求極植和值域(特別是求無理函數的)。

　　4其他類型

　　還可用于數列(特別是等差數例它的通項公式和前幾項和公式與直線二次曲線表達式很相似)、方程根的討論(用作圖法求交點個數)和比較大小等問題上。代數問題的幾何建模策略遠不止這些,很有挖掘的必要。

　　通過上述討論,不難發現,代數問題本身的復雜性、開放性以及應用者知識經驗是其局限性所在。盡管如此,它作為開發智力、鍛煉創造件思維能力,仍有特別的價值。

　　代數問題的幾何講法【2】

　　數學是研究客觀世界的空間形式和數量關系的科學，且數與形是數學的兩種表達形式，數是形的抽象概括，形是數的直觀表現。

　　數形結合就是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，使得復雜問題簡單化，抽象問題具體化，使抽象思維和形象思維相結合，通過圖形的描述、代數的論證來研究和解決數學問題的一種數學思想方法。

　　顯然數形結合，不是兩者簡單的堆砌，而是有機的結合，“數”具有精確性定特征，它可以闡明“形”的某些屬性，并且可以通過運算法則、公式進行運算，比較具體(雖然有時卻比較繁復)，“形”具有幾何的直觀性，它也可以表示數之間的某些關系，“形”可以通過邏輯推理得到一些結果，其推理過程較簡捷(但可能有時比較抽象)。

　　但兩者結合，各取所長，則往往威力巨大。

　　函數是貫穿數學知識的主要內容，它的地位和作用非常重要，數形結合思想在解決函數問題時尤為重要。

　　函數的圖像是表示函數關系的方式之一，它是從“形”的方面來刻畫函數的變化規律，形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。

　　利用一次函數、二次函數等基本函數的圖像來解決代數問題，有利于培養學生的轉化聯想能力、觀察能力，如利用某些函數表達式所具有的特征，與幾何中的距離、直線的斜率、線段的長度(兩點間的距離)等聯系在一起，構造幾何模型解決問題，培養學生思維的深刻性并提高創造性。

　　借助兒何圖形和函數圖象的直觀，去理解、記憶數學的概念和性質，并用以解題，這在中學數學教學中是一個重要的思想方法，比如現行中學數學課本里，對三角函數函數的性質，就是通過觀察它們的圖象，抽象得來的。

　　又如在教學中要想讓學生牢記30、45“、60“這兒個角的三角函數值，要求學生在理解銳角三角函數的定義基礎上去記憶，借助幾何直觀去解題，常常會達到事半功倍的效果。

　　如在學生學習正比例函數圖像時，先引導學生用“描點法”畫出一幅表示正比例函數的圖像，在描點的過程中，引導學生把所描出的點與表中的數據相對照，讓學生初步理解圖像上各點所表示的實際意義，再通過觀察，使學生發現所描出的這些點正好在一條直線上，清楚地認識正比例函數圖像的特點，并借助直觀的圖像進一步理解兩種量同時擴大或縮小的變化規律，理解正比例函數的性質。

　　畫出圖像后，進一步認識圖像上任意一點所表示的實際意義，初步體會正比例函數圖像的實際應用。

　　通過正比例函數圖像與正比例函數關系式的轉換，加深對正比例函數的理解。

　　應用數形結合解題時要注意以下兩點：其一數與形轉化的等價性，將復雜的問題轉化成簡單、熟知的數學問題，轉化前后的問題必須是等價的;其二，利用“數”的精確性和“形”的全面性，像判斷公共點個數問題，轉化成圖形后要保證“數”的精確性，才能得出正確結論。

　　有些問題所對應的圖形不唯一，要根據不同的情況畫出相應的圖形后，再進行討論求解。

　　總之，要讓學生真正掌握數形結合思想的精髓，必須有雄厚的基礎知識和熟練的基本技巧，如果教師只講解幾個典型習題并把學生講懂了，就認為學生領會了數形結合這一思想方法，是片面的。

　　教師要有做好長期滲透的思想，平時要求學生認真上好每一堂課，學好新教材的系統知識，掌握各種函數的圖像特點，理解各種幾何圖形的性質。

　　教師講題時，要引導學生根據問題的具體情況，多角度的觀察和理解問題，揭示問題的本質聯系，利用“數”的準確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數”的計算，從而來解決問題。

　　教學中要緊緊抓住數形轉化的策略，通過多渠道來溝通知識間的聯系，激發學生學習興趣，并及時總結數形結合在解題中運用的規律性，來訓練學生的思維能力，提高理解和運用的水平。

　　只有這樣，不斷提高、深化數形結合運用的能力。

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