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高一數學圓錐曲線問題的探究與發現教案
一、問題導入，引發探究
師：我在旅游時買回來一種磁性蛇蛋玩具（如圖），所謂生活處處皆學問嘛，我把它運動過程中的軸截面用圖形計算器做出了以下有趣的現象：
兩個全等的橢圓形卵，相互依偎旋轉（動畫）。你能通過所學解析幾何知識，構造出這種有趣的現象嗎？
二、實驗探究，交流發現
探究1：卵之由來——橢圓的形成
(1) 單個定橢圓的形成
橢圓的定義：平面內到兩定點 、 的距離之和等于常數(大于 )的點的軌跡叫做橢圓。（即若平面內的動點 到兩定點 、 的距離之和等于常數(大于 )，則點 的軌跡為以 、 為焦點的橢圓。）
思考1：如何使 為定值？
（不妨將兩條線段的長度和轉化為一條線段，即在線段 的延長線上取點 ，使得 ，此時， 為定值則可轉化為 為定值。）
思考2：若 為定值，則 點的軌跡是什么？定點 與 點軌跡的位置關系？
（以定點 為圓心， 為半徑的圓。由于 > ，則點 在圓內。）
思考3：如何確定點 的位置，使得 ，且 ？
（線段 的中垂線與線段 的交點為點 。）
揭示思路：(高中數學選修2-1 P49 7) 如圖，圓 的半徑為定長 ， 是圓 內一個定點， 是圓上任意一點，線段 的垂直平分線l和半徑 相交于點 ，當點 在圓上運動時，點 的軌跡是什么？為什么？
(設圓 的半徑為 ，由橢圓定義， (常數)，且 ，所以當點 在圓周上運動時，點 的軌跡是以 為焦點的橢圓。)
圖形計算器作圖驗證：以圓 與定點 所在直線為 軸， 中垂線為 軸建立直角坐標系，設圓半徑 ， ，即圓 ，點 ，則 點軌跡是以以 為焦點的橢圓，橢圓方程 為 。
(2) 單個動橢圓的形成
思考4：構造一種動橢圓的方式
（由于橢圓形狀不變，即離心率不變，而長軸長 為定值，則 也要為定值，因此可將圓內點 取在圓 的同心圓 上，當點 在圓 上動時，即可得到動橢圓。）
圖形計算器作圖驗證：當圓內動點 取在圓 的同心圓 上，運動點 ，即得到動橢圓。
(3) 兩個橢圓的形成
觀察兩個橢圓相互依偎旋轉的幾個畫面，分析兩橢圓的位置關系。判斷兩個橢圓關于對稱軸 對稱，且直線 過兩橢圓公共點，所以直線 為兩橢圓的公切線。
因而找到公切線 ，作橢圓 關于切線 的對稱橢圓 即可。
探究2：卵之所依——切線的判斷與證明
線段 的垂直平分線 與橢圓的位置關系
(1) 利用圖形計算器中的“圖象分析”工具直觀判斷 與橢圓的位置關系．設圓 上動點 ，則線段 的中垂線 的方程為 ，將動點 的橫坐標保存為變量 ，縱坐標保存為變量 ，隨著 點的改變，在Graphs中畫出相應的動直線 ．用圖形計算器中的“圖象分析”工具找出橢圓所在區域內的直線 與橢圓的交點，拖動點 ，動態觀測交點個數的變化，發現無論點 在何處，動直線 與橢圓只有唯一一個交點 ，因此判斷直線 與橢圓相切，并可求出該切點 的坐標．也可以將橢圓方程與直線方程聯立，用“代數”工具中的slve（）求出方程組的解，從而判斷根的情況．
(2) 證明橢圓 與直線 相切．
不妨設直線 ： ，其中 ， ，與橢圓方程聯立 ，得 ，因此
，
將 ， ， 代入上式，用“代數”工具中的expand()化簡式子，得 ，所以橢圓與直線 相切，切點為 ．
(3) 證明由任意圓 上的動點 和圓內一點 確定的橢圓 與線段 中垂線 均相切(反證法)
因為橢圓 是點 的軌跡，而點 是直線 與線段 中垂線 的交點，所以點 既在橢圓 上，也在直線 上。因此，直線 與橢圓至少有一個公共點，即直線 與橢圓相切或相交。
假設直線 與橢圓相交，設另一個交點為 （ 與 不重合）．因為 ，所以 ；又因為 ，
所以 為定值，而 ，矛盾．因此直線 與橢圓相切。
探究3：兩卵相依——對稱旋轉橢圓的形成與動畫
當圓內動點 取在圓 的同心圓 上，作橢圓 關于切線 的對稱橢圓 ，運動點 ，隱藏相關坐標系與輔助圓等圖形，呈現兩卵相互依偎旋轉的有趣效果。
改變一些問題條件，進行深入探究與發現。
探究4：改變 點位置，探究點 軌跡
(1) 曲線判斷：利用TI圖形計算器作圖分析，拖動點 ，當點 在定圓 內且不與圓心 重合時，交點 的軌跡是橢圓；當點 在定圓 外時，則 ，交點 的軌跡是雙曲線；當點 與圓心 重合時，點 的軌跡是圓 的同心圓；當點 在圓周上時，點 的軌跡是是一點（圓心 ）．
(2) 方程證明：圓 ，設點 ，可解得點 的軌跡方程為
，
當 或 時，點 的軌跡為圓心 ；
當 且 時，點 的軌跡方程為
，
當 時，點 的軌跡為圓: ；
當 且 時，點 的軌跡為橢圓；
當 或 時，點 的軌跡為雙曲線。
探究5：改變切線位置，探究由切線得到的包絡圖形
查閱有關參考書籍，了解圓錐曲線的包絡線，并利用圖形計算器作出橢圓、雙曲線的包絡圖形，自主探究拋物線的包絡線(將定圓改為定直線)。
結論：所謂包絡圖，就是指有一條曲線按照一定運動規律運動，保留其所有瞬間位置的影像，會有一條曲線能夠和該運動曲線所有位置相切，這條曲線就成為該運動曲線的包絡線。
探究6：拓展延伸：橢圓切線的幾個性質及其應用
性質1： 是橢圓的兩個焦點，若點 是橢圓上異于長軸兩端點的任一點，則 點的切線平分 的外角。
性質1′： 點處的法線(過 點且垂直于切線)平分 。(即為橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上。)
課后探究：閱讀數學選修2-1 P75 閱讀與思考——圓錐曲線的光學性質及其應用，了解雙曲線、拋物線的光學性質。
練習1：已知 為橢圓 的左、右焦點，點 為橢圓上任一點，過焦點 向 作垂線，垂足為 ，則點 的軌跡是_____________，軌跡方程是_______________。
解：(1) 直觀判斷：作軌跡
(2) 嚴謹證明：圓的定義
由此得到：
性質2： 是橢圓的兩個焦點， 是長軸的兩個端點，過橢圓上異于 的任一點 的切線，過 做切線的垂線，垂足分別為 ，則 在以長軸為直徑的圓上。
練習2：已知 為橢圓 的左、右焦點，點 為橢圓上任一點，直線 與橢圓相切與點 ，且 到 的垂線長分別為 ，求證： 為定值。
解：(1) 直觀判斷：作圖
(2) 嚴謹證明：利用性質2及圓的相交弦性質，
由此得到：
性質3：已知橢圓為 ，則焦點 到橢圓任一切線的垂線長乘積等于 。
課后探究2：已知 為橢圓 的左、右焦點，點 為橢圓上任一點，直線 過點 ，且 到 的垂線長分別為 ，則
① 當 時，直線 與橢圓的位置關系；(相交)
② 當 時，直線 與橢圓的位置關系。(相離)
(類比直線與圓位置關系的幾何法，此為直線與橢圓位置關系的幾何法)
課后探究：雙曲線、拋物線的切線是否有類似性質？
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