高中數學恒成立問題的解題策略

　　論文摘要：在高中數學教學中，我們經常會碰到某些恒成立的問題。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下兩種類型：一是利用函數圖像與性質;二是變量分離。本文對此進行了分析。

　　關鍵詞：恒成立問題;函數圖像;數學

　　在高中教學中，我們經常會碰到在給定條件下某些結論恒成立的問題，我們怎樣來解決呢? 函數在給定區間上某結論成立問題，其表現形式通常有：(在給定區間上某關系恒成立;(某函數的定義域為全體實數R;(某不等式的解為一切實數;(某表達式的值恒大于等等……

　　恒成立問題，涉及到一次函數、二次函數的性質、圖像，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個熱點。

　　恒成立問題在解題過程中大致可分為以下兩種類型：一是利用函數圖像與性質，例如，一次函數、二次函數等;二是變量分離。恒成立問題還要注意與存在性問題的區別和聯系。

　　一、利用函數圖像與性質

　　例1：對任意恒成立，求的取值范圍。

　　解：令，

　　本題關于的二次函數，若二次函數大于0在R上恒成立且(即圖像恒在軸上方)。

　　若二次函數小于0在R上恒成立且(即圖像恒在軸下方)。

　　我們也會經常碰到二次函數在某一給定區間上的恒成立問題，碰到這樣的情況，如果我們仍舊可以利用函數圖像來解決的話，會更得心應手。

　　變式1：對任意恒成立，求的取值范圍。

　　解：若對任意恒成立，令，利用其函數圖像，

　　，得

　　變式2：若時，恒成立，求的取值范圍。

　　分析：可以看成關于的二次函數，也可以看成關于的一次函數，所以在不等式中出現了兩個字母：及，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數。顯然，可將視作自變量，則上述問題即可轉化為在內關于的一次函數小于0的恒成立問題。

　　若原題可化為一次函數型，則由數形結合思想利用一次函數知識求解，十分簡捷。給定一次函數，若在內恒有，則根據函數的圖像(直線)可得上述結論等價于;同理，若在內恒有，則有，

　　利用的函數圖像可知，

　　變式3：對任意及時，恒成立，求的取值

　　范圍。

　　分析：不等式中出現了三個字母：，及，關鍵在于先把哪個字母看成是變量，另外兩個作為常數。

　　方法一：若先把看成關于的二次函數，且在上恒大于等于0，則，即，

　　在上恒成立，(如變式1)

　　令，，

　　方法二：若先把看成關于的一次函數，則在上恒成立(如變式2)，，則，所以此不等式在上恒成立，

　　二、變量分離

　　若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解。運用不等式的相關知識不難推出如下結論：若對于x取值范圍內的任何一個數都有恒成立，則;若對于取值范圍內的任何一個數，都有恒成立，則。(其中和分別為的最大值和最小值)

　　例2：已知函數在是增函數，在為減函數，(1)求的表達式;當時，若在內恒成立，求的取值范圍。

　　解：(1)函數在是增函數，

　　在上恒成立，

　　，在上恒成立， ①

　　函數在是減函數，在上恒成立。

　　在上恒成立， ②

　　由①②可得，，，

　　方法一：，

　　令在上恒成立，

　　在上單調遞減，，

　　，

　　方法二：方法一是采用恒成立，則來解決，也可以利用恒成立;恒成立，

　　，

　　令

　　，，，，，

　　在上恒成立，，

　　例3：已知函數對于總有成立，求實數的值。

　　方法一：(同例2的方法二)

　　①當時，不符題意;

　　②當，在上恒成立，在上單調遞減.，不符題意;

　　③當，在單調遞增;在上單調遞減。

　　在的最小值可能是

　　，也可能是，

　　，且，且，

　　④當，在上恒成立，在上單調遞減，，所以不符題意。

　　綜上所述，。

　　方法二：(同例2的方法一)

　　，

　　① 當時，;

　　② 當時， 令

　　在單調遞增，在

　　在上恒成立，在上單調遞減，。

　　③當時，令

　　在單調遞增，。

　　綜上所述，。

　　三、存在性問題和恒成立問題的區別和聯系

　　1.存在性問題和恒成立問題的區別

　　例4：若對于，有解，求

　　的范圍。

　　分析：原不等式可整理成，則存在，有解，是一個存在性問題。存在性問題有如下解法：①在定義域上有解;②在定義域上有解。

　　解：令，在上恒大于零，在上單調遞增，，。

　　變式：任意，恒成立，求的范圍。

　　解：(由例4可得)因為在上恒成立，所以=。

　　2.存在性問題和恒成立問題的聯系

　　如例4：令：存在， 有解，所以命題是一個存在性問題;

　　而：任意，恒成立，它是一個恒成立問題. 所以求滿足條件的的范圍，先可以求滿足條件的的范圍，再求其補集。

　　因為：任意，恒成立，所以，，所以滿足條件的的范圍為。

　　存在性問題可以與恒成立問題相互轉化，存在性問題的反面是恒成立問題，恒成立問題的反面是存在性問題。

　　綜上，恒成立問題的解決主要是以上幾種方法，恒成立問題解決有利于函數方面知識的掌握，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。

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