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分析等價無窮小性質的理解、延拓及應用
等價無窮小概念是高等數學中最基本的概念之一，下面小編就帶來分析等價無窮小性質的理解、延拓及應用的論文，歡迎各位學者閱讀!
【摘要】等價無窮小具有很好的性質，靈活運用這些性質，無論是在在求極限的運算中，還是在正項級數的斂散性判斷中，都可取到預想不到的效果，能達到羅比塔法則所不能取代的作用。通過舉例，對比了不同情況下等價無窮小的應用以及在應用過程中應注意的一些性質條件，不僅使這些原本復雜的問題簡單化，而且可避免出現錯誤地應用等價無窮小。
【關鍵詞】 等價無窮小 極限 羅比塔法則 正項級數 比較審斂法
等價無窮小概念在高等數學中等價無窮小的性質僅僅在“無窮小的比較”中出現過，其他地方似乎都未涉及到。其實，在判斷廣義積分、級數的斂散性，特別是在求極限的運算過程中，無窮小具有很好的性質，掌握并充分利用好它的性質，往往會使一些復雜的問題簡單化，可起到事半功倍的效果，反之，則會錯誤百出，有時還很難判斷錯在什么地方。因此，有必要對等價無窮小的性質進行深刻地認識和理解，以便恰當運用，達到簡化運算的目的。
1 等價無窮小的概念及其重要性質[1]
無窮小的定義是以極限的形式來定義的，當x→x0時(或x→∞)時，limf(x)=0，則稱函數f(x)當x→x0時(或x→∞)時為無窮小。
當limβα=1，就說β與α是等價無窮小。
常見性質有：
設α,α′,β,β′,γ 等均為同一自變量變化過程中的無窮小， ① 若α～α′,β～β′， 且limα′β′存在，則limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，則α～γ
性質①表明等價無窮小量的商的極限求法。性質②表明等價無窮小的傳遞性若能運用極限的運算法則，可繼續拓展出下列結論：
③ 若α～α′,β～β′， 且limβα=c(≠-1)，則α+β～α′+β′
證明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β
=lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′
而學生則往往在性質(3)的應用上忽略了“limβα=c(≠-1)”這個條件，千篇一律認為“α～α′,β～β′，則有α+β～α′+β′
④ 若α～α′,β～β′， 且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，則當Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且 limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′
此性質的證明見文獻[2]，性質③、④在加減法運算的求極限中就使等價無窮小的代換有了可能性，從而大大地簡化了計算。但要注意條件“limβα=c(≠-1)”，“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。
2 等價無窮小的應用
2.1 在求極限中經常用到的等價無窮小有 x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex-1, 1-cosx～12x2, n1+x～1+xn,(x→0)
例1 limx→0tanx-sinxx3
解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx
=limx→0x·12x2x3(∵ sinx～x,1-cosx～x22)
=12
此題也可用羅比塔法則做，但不能用性質④做。
∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不滿足性質④的條件，否則得出錯誤結論0。
例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2
解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53
用性質④直接將等價無窮小代換進去，也可用羅比塔法則做。
例3 limx→0(1x2-cot2x)
解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x
=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)
=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1+cosx)x2=1
解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44
(∵ tanx～x)
=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)
兩種解法的結果不同，哪一種正確呢?可以發現解法1錯了，根源在于錯用sinx-xcosx～x-xcosx (注意limx→0sinx-xcosx=-1), 由性質③ sinx-xcosx并不等價于x-xcosx 。 從解法2又可以看到盡管羅比塔法則是求極限的一個有力工具，但往往需要幾種方法結合起來運用，特別是恰當適時地運用等價無窮小的代換，能使運算簡便，很快得出結果。
2.2 在正項級數的審斂判別法中，用得比較多的是比較審斂法的極限形式，它也是無窮小的一個應用。
比較審斂法的極限形式：設∑∞n=1un 和∑∞n=1vn 都是正項級數， ① 如果limn→∞unvn=l(0≤l<+∞) ，且級數∑∞n=1vn收斂，則級數∑∞n=1un收斂。
② 如果limn→∞unvn=l>0 或limn→∞unvn=+∞，且級數∑∞n=1vn發散，則級數∑∞n=1un發散。當l=1時，∑un，∑vn就是等價無窮小。由比較審斂法的極限形式知，∑un與∑vn同斂散性，只要已知∑un，∑vn中某一個的斂散性,就可以找到另一個的斂散性。
例4 判定∑∞n=11n2-lnn 的斂散性
解： ∵ limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1 又∑1n2 收斂 ∴ ∑∞n=11n2-lnn 收斂
例5 研究∑∞n=11ln(1+n)的斂散性
解： limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1 而∑1n 發散 ∴ ∑∞n=11ln(1+n) 發散
3 等價無窮小無可比擬的作用
以例3看，若直接用羅比塔法則會發現出現以下結果：
原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx
=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越變越復雜，難于求出最后的結果。而解法2適時運用性質①，將分母x2tan2x替換成x4，又將分子分解因式后進行等價替換，從而很快地求出正確結果。再看一例：
例6[3] limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) (用羅比塔法則)
=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) (分離非零極限乘積因子)
=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) (算出非零極限)
=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) (用羅比塔法則)
=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
出現循環，此時用羅比塔法則求不出結果。怎么辦?用等價無窮小代換。
∵ x～sinx～tanx(x→0)
∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。
由此可看到羅比塔法則并不是萬能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性[3]。只要充分地掌握好等價無窮小的4條性質就不難求出正確的結論。
【參考文獻】
1 同濟大學應用數學系，主編.高等數學.第5版.北京：高等教育出版社，2002,7(38)：56～59.
2 楊文泰，等.價無窮小量代換定理的推廣.甘肅高師學報，2005，10(2)：11～13.
3 王斌.用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討.黔西南民族師專學報，2001，12(4)：56～58.
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