矩陣的等價標準型在量子力學的應用

　　量子通信技術【1】

　　摘要：矩陣的等價標準型是矩陣論中的一種重要形式。

　　不僅可以解決很多線性代數中的問題，也可以解決物理中的一些問題。

　　本文以矩陣的等價標準型為研究對象，通過舉例的方式，探討了矩陣的等價標準型在量子力學中的應用。

　　關鍵詞：矩陣;等價標準型;量子力學;應用

　　一、引言

　　矩陣的等價標準型是矩陣論中的一種既特殊又重要的形式，它可以解決代數中的許多問題，例如利用矩陣的等價標準型來研究矩陣的一些性質，廣義逆矩陣等等。

　　本文是把量子力學和代數中的矩陣聯系起來，把矩陣的等價標準型應用在物理學的量子力學中。

　　矩陣A和B是等價的，如果矩陣B可以由A經過一系列初等變換得到，同樣也可以這樣表達：兩個n×m矩陣，A，B若存在m階可逆矩陣P，n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B，則稱這兩個矩陣，A，B是等價的。

　　矩陣Ir000為A的等價標準形是這樣定義的：A是一個m×n矩陣，并且A的秩為r，則A等價于矩陣Ir000.

　　二、在物理中關于量子力學的應用

　　標準形矩陣在量子力學中的應用，這是物理學中比較重要的一個應用。

　　等價標準形在量子力學中主要應用在線偏振器的表示和密度矩陣的求解中。

　　在力學中， 線偏振器是這樣定義的，由入射自然光得到偏振光的器件稱為線偏振器，當透振沿X軸的方向時，瓊斯矩陣可以很容易得到為10

　　00， 根據上面的定義，我們可以知道它是等價標準形。

　　當入射光E連續通過兩個或兩個以上偏振器時，輸出光是它們的疊加，輸出的光可表示為E=MnMn-1…M1E.M1，M2…Mn 為依次通過的各偏振器的瓊斯矩陣，那么很容易看出偏正態變為簡單的矩陣運算，又回歸到數學的運算之中了。

　　例1設有一條偏線振光滿足振幅為A，并且振動方向是X軸，先通過一透振方向與X軸方向的偏振片，再通過一塊沿軸X方向45度方向放置的方解石λ4片，求出光偏正態和強度。

　　對于上式進行分析，不難得出輸出光的x，y分量偏振幅均為A2，這兩個振動相位差為π2，很容易看出，出射光和左旋圓偏正光的形式是一樣的，那么它就為左旋圓偏正光，I=(A2)為出射光的強度，入射光線的強度為π2.

　　例2 量子態|φ>相應的密度矩陣的矩陣元Pn′n出現(不為0時)，量子態|φ>必含有|n>和|n′>態，Pn′n的值與|n>和|n′>態在態|φ>中出現的幾率和相位都有關，如|φ>就是F的某一個本征態|k>，則Pn′n=|n|k>|k|n′>δnkδn′k=δnn′δn′k.它是一個對角矩陣，而且對角元中只有一個元素ρkk′不為0，且ρkk′=1，求電子自旋σx=±1的本征態在pauli表象(σZ表象)中的密度矩陣，進而求它在σx表象中的密度矩陣。

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　　量子力學的發展及應用【2】

　　摘 要：量子力學是對經典物理學在微觀領域的一次革命。

　　它有很多基本特征，如不確定性、波粒二象性等，在原子和亞原子的微觀尺度上將變的極為顯著。

　　愛因斯坦、海森堡、波爾、薛定諤、狄拉克等人對其理論發展做出了重要貢獻。

　　量子力學是現代物理學基礎之一，在低速、微觀的現象范圍內具有普遍適用的意義。

　　論述了量子力學的發展以及與量子力學相關的物理概念，討論了量子力學研究的主要內容。

　　關鍵詞：量子力學 量子力學發展 質子和粒子

　　前言：量子力學是對牛頓物理學的根本否定。

　　l9世紀末正當人們為經典物理取得重大成就歡呼的時候，一系列經典理論無法解釋的現象一個接一個地發現了。

　　在經典力學時期，物理學所探討的主要是那些描述用比較直接的試驗研究就可以接觸到的物理現象的定律和理論。

　　在宏觀和慢速的世界中，牛頓定律和麥克斯韋電磁理論是很好的自然定律。

　　而對于發生在原子和粒子這樣小的物體中的物理現象，經典物理學就顯得無能為力，很多現象沒法解釋。

　　1.量子力學的起源

　　量子論起源于經典物理學體系中出現的反常的經驗問題，以及相伴隨的概念問題。

　　量子力學的發展主要歸功于四位物理學家。

　　德國的海森伯于1926年作出了量子力學理論的第一種表述。

　　利用矩陣力學的理論，求得描述原子內部電子行為的一些可觀察量的正確數值。

　　接著，奧地利的薛定諤發表了波動力學，是量子力學的另一種數學表述。

　　同年，德國的伯恩對上述兩種數學表述作出可以接受的物理解釋，并首先使用“量子力學”這個名詞。

　　1928年，英國的狄拉克又把上面的理論加以推廣，并與狹義相對論結合起來。

　　量子力學是對牛頓物理學的根本否定。

　　牛頓認為物質是由粒子組成的，粒子是一個實體，量子力學認為粒子是波，波是無邊無際的。

　　牛頓認為宇宙是一部機器，可以把研究對象分成幾部分，然后對每一部分進行研究。

　　量子力學認為自然界是深深地連通著的，一定不能把微觀體系看成是由可以分開的部分組成的。

　　因為兩個粒子從實體看可以分開，從波的角度他們是糾纏在一起的。

　　牛頓認為宇宙是可以預言的，而量子力學認為，自然界在微觀層次上是由隨機性和機遇支配的。

　　牛頓認為自然界的變化是連續的，量子力學認為自然界的變化是以不連續的方式發生的。

　　2.量子力學的形成

　　2.1 量子假說的提出

　　1900年l2月14日，德國物理學家普朗克在柏林德國物理學會一次會議上提出了黑體輻射定律的推導，這一天被認為是量子力學理論的誕辰日。

　　在推導輻射強度作為波長和絕對溫度函數的理論表達式時，普朗克假設構成腔壁的原子的行經像極小電磁振子，各振子均有一個振蕩的特征頻率。

　　振子發射電磁能量于空腔中，并自空腔中吸收電磁能量，因此可以由在輻射平衡狀態的振子的特性而推出空腔輻射的特性。

　　而關于原子的振子，普朗克作了兩項

　　根本的假設，現簡述如下：

　　① 振子不能為“任何能量”，只能為：

　　(1)

　　式中：為振子頻率，為常數(現稱為普朗克常數)，只能為整數(現稱為量子數)，(1)式斷言振子的能量只能是一份一份的，而不能是連續的，即振子能量是量子化的。

　　②振子并不連續放射能量，僅能以“跳躍”方式放射，或稱“量子式”放射。

　　當振子自一量狀態改變至另一態時，即放出能量量子。

　　因此，當改變一個單位時，放射之能量為：

　　只要振子仍在同一量子狀態，則既不放射能量也不吸收能量。

　　2.2 愛因斯坦利用量子假說揭開光電效應之謎

　　愛因斯坦根據普朗克的量子假設推理認為：如果一個振動電荷的能量是量子化的，那么它的能量變化只能是從一個允許的能量瞬時地躍遷到另一個允許的能量，因為根本不允許它具有任何中間的能量值。

　　而能量守恒就意味著，發射出的輻射必須是以一股瞬時的輻射進發的形式從振動電荷產生出來，而不是電磁波理論所預言的長時間的連續波。

　　愛因斯坦得出結論：輻射永遠以一個個小包、小粒子的形式出現，但不是象質子、電子那樣的實物粒子。

　　這些新粒子是輻射構成的;它們是可見光粒子、紅外光粒子、 射線粒子等等。

　　這些輻射粒子叫做光子。

　　光子和實物粒子不同：它們永遠以光速運動;它們的靜止質量為零;振動的帶電粒子產生光子。

　　3.量子力學的宇宙觀

　　在原子的量子理論的探討中，從對氫原子的研究中發現，氫原子有無數個量子態。

　　而電子多于一個的原子有更復雜的量子態，這些量子態都從求解適合于該特定原子的薛定諤方程，并且要求其場剛好環繞原子核產生駐波而求得。

　　由于這些量子態的每一個都是有特定頻率的駐波，并且波的頻率和它的能量相聯系，預期每個量子態只有一個特殊的能量。

　　這就是說，預期任何一個態的能量不會有任何量子不確定性。

　　可以對每個態的能量大小作合理的猜測。

　　由于質子作用于電子的力是吸引力，要把一個電子向外拖到離原子核更遠的地方就必須做功。

　　因此電子離原子核越遠，電子的電磁能量就越高。

　　量子理論的中心思想是，一切東西都由不可預言的粒子構成，但這些粒子的統計行為遵循一種可以預言的波動圖樣。

　　1927年，德國物理學家海森伯發現，這種波粒二象性意味著，微觀世界具有一種內稟的，可以量化的不確定性。

　　量子理論的最大特點也許是它的不確定性。

　　量子不確定的實質是，完全相同的物理情況將導致不同的結果。

　　哥本哈根學派解釋的結論是，微觀事件真的是不可預言的。

　　而且，當我們說一個微觀粒子的位置是不確定的時候，意思并不僅僅是我們缺乏有關其位置的知識。

　　相反，意思是這個粒子的確沒有確定的位置

　　結語：量子力學在低速、微觀的現象范圍內具有普遍適用的意義。

　　它是現代物理學基礎之一，在現代科學技術中的表面物理、半導體物理、凝聚態物理、粒子物理、低溫超導物理、量子化學以及分子生物學等學科的發展中，都有重要的理論意義。

　　量子力學的產生和發展標志著人類認識自然實現了從宏觀世界向微觀世界的重大飛躍。

　　參考文獻

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　　變分法在量子力學中的應用研究【3】

　　摘 要 在處理物理問題及量子力學問題時，通常會應用到變分法。

　　變分法與處理數的函數普通微積分保持著相對立關系，屬于處理函數的一種方式。

　　歐拉-拉格朗日方程式是變分法最為重要的定理。

　　通過變分法，可以實現泛函臨界點對應。

　　變分法的出現推動了理論物理的進一步發展，在量子力學及相應最小作用量原理中發揮著十分重要的作用。

　　在概述變分法的基礎上，對變分法在量子力學物理領域的應用進行研究與分析。

　　實踐證明，在處理量子力學問題中，變分法發揮著重要作用。

　　關鍵詞 變分法;量子力學;最優控制

　　20世紀二三十年代，奧地利物理學家薛定諤提出一種可以進行微觀粒子體系運動行為的一波方程，被人稱之為薛定諤方程。

　　通過進行薛定諤方程求解，可以獲得體系波函數，應用體系波函數，可以確定體系性質，此后有學者對相對論效應狄拉克方程的確定進行了研究。

　　這些研究成果的出現，讓人們認為量子力學其普遍理論似乎已經基本完成，人類已經基本知曉了絕大部分物理學及物理定律。

　　解決問題困難及關鍵僅在于如何將這些定律進行現實應用。

　　狄拉克認為，隨著體系的不斷增加，薛定諤方程或狄拉克方程幾乎是不可解的。

　　針對這種現象，求解其方程的近似方法不斷被研究。

　　在物理量子學領域，進行薛定諤法方程求解，其主要方法包括微擾法及變分法。

　　束縛定態是建立于不含時間的薛定諤方程，即在能量變分原理的等價性基礎上，能量本征值方程解是通過對能量極值的求解來完成的。

　　在進行具體問題處理的過程中，通過波函數中一些特殊變化將最普遍任意變分進行替代，通過這種方法可以獲得依賴于波函數特殊形式的一種近似解，這種解決問題的方法被稱之變分法。

　　變分法用在解決如量子力學等物理問題領域。

　　變分法的應用，其優勢在于運用變分法進行方程求解并不會受到限制，在保證變分函數良好的基礎上，即可實現對體系基態性質的研究。

　　1 變分法概述

　　變分法與處理數函數普通微積分表現出相對立關系。

　　泛函是通過位置函數導數及相應位置函數積分來實現相應構造。

　　變分法應用的最終目的在于找出更好的極值函數，通過變分法，獲得泛函最大值或最小值。

　　歐拉-拉格朗日方程式屬于變分法最重要定理。

　　通過變分法，可以獲得相應泛函臨界點，在處理量子力學及其他物理問題時應用優勢十分明顯。

　　在解決量子力學問題時，解決微擾問題最為廣泛的方法是應用微擾法及變分法。

　　如應用微擾法進行量子力學問題的解決，其條件則為體系的哈密頓算符。

　　可以分為及兩個部分，則有：

　　= +

　　在微擾法中，本征函數及本征值屬于已知，則很小，如在解決問題時其滿足微擾法求解問題的基本條件，則可以實現量子問題求解。

　　然而在實際應用中，進行全體必要的矩陣元求和計算是十分困難的，其解決問題存在著一定的局限性。

　　應用變分法則不會受到條件限制。

　　如將體系哈密頓算符本征值由小到大進行排列，其順序如下：

　　E0，E1，E2，…En，… (1)

　　計算這些本征值對應本征函數，則有：

　　Ψ0，Ψ1，Ψ2，…，Ψn，… (2)

　　在公式中，E0代表的是基態能量，Ψ0代表的是基態波函數。

　　為便于研究，假設與本征值En是保持對立的，本征函數Ψn組成正交歸一系，則有：

　　Ψn=En+Ψn (3)

　　在公式中，設Ψ屬于任意歸一化波函數，將公式展開后獲得：

　　(4)

　　在進行Ψ狀態描述時，其體系能量平均值則為：

　　(5)

　　通過公式整理，則可以獲得：

　　(6)

　　因E0代表的是基態能量，為此，則有E0

　　(7)

　　=E0屬于Ψ歸一條件，則有：

　　(8)

　　公式(8)不等式說明，在進行任意波函數Ψ求解時所獲得的平均值總是較之基態能量較大，在進行Ψ平均值求解時，其中最小平均值與E0最接近。

　　當Ψ作為體系中Ψ0基態波函數時，此時基態能量E0則與平均值保持一致。

　　由此，實現變分法基態能量及基態波函數體系求解。

　　2 量子力學變分原理

　　如下，為某個微觀體系薛定諤方程：

　　(9)

　　該薛定諤方程為變分問題歐拉微分方程，其變分問題求解則是對其能量積分進行求解，則有：

　　(10)

　　能量積分極小值為：

　　(11)

　　將體系哈密頓量設為H，則有：

　　(12)

　　在滿足歸一化條件的基礎上，進行公式整理，則有：

　　(13)

　　實踐證明，經過歐拉微積方程整理，可以獲得薛定諤方程，證明微觀體系薛定諤方程是可以讓能量積分獲得極值時的歐拉微分方程。

　　以上公式，則為量子力學中變分原理。

　　3 變分法在量子力學中的應用案例

　　在量子物理或經典物理中，一維諧振子與很多物理現象存在較大關系，甚至可以將任何體系在穩定平衡點位置所進行的運動看作一種近似一維諧振子，如核振動、晶體結構離子及中原子振動等。

　　本文在分析量子力學變分原理的基礎上，進行一維諧振子研究。

　　將諧振子質量設為m，并沿x軸進行直線運動，則諧振子所受到勢能為，可以通過以下公式進行哈密頓量表示：

　　(14)

　　體系試探波函數為，按照歸一化條件，可以獲得。

　　則有：

　　(15)

　　通過公式調整，可以獲得以積分公式：

　　(16)

　　通過計算后獲得：

　　(17)

　　并獲得體系最低能量值為：

　　(18)

　　相應函數簡化后為： 　　(19)

　　通過檢驗后發現，這種計算結果與求解結果相同，證明所選取的變分函數良好。

　　圖1為典型a下線性諧振子波函數及位置幾率密度分布圖。

　　波函數能夠滿足高斯型分布，在x=0位置，存在明顯峰值，隨著a逐漸降低，其峰值降低，且峰寬度逐漸增加。

　　從圖1中可以看出，波函數幾率密度分布狀況與波函數、分布曲線形狀基本保持一致。

　　應用變分法所求解出的波函數幾率分布存在一定差異。

　　由此可以看出，應用變分法解決量子力學問題時，雖然其可以簡單方便地進行體系基態性質求解，但其屬于解決問題的近似方法，其近似程度隨著參數變化發生變化。

　　只有保證所選擇的波函數滿足邊界條件及歸一化條件，參數越多時，其結果越好。

　　變分法其應用的優點在于其求解過程并不受到什么限制，但其結果好壞完全是由嘗試波函數選擇來確定。

　　為此，在應用結構變分法解決物理量子力學問題時，應保證變分法所選擇的嘗試波函數的合理性及科學性。

　　4 結語

　　當前，微擾法及變分法是處理物理量子力學問題常見的方法。

　　微擾法求解存在一定局限性，變分法求解并不受到任何限制，變分法屬于處理函數的一種方式，與處理數的函數的普通微積分保持著相對立關系。

　　應用變分法，可以實現泛函臨界點對應。

　　變分法在解決物理問題中發揮著十分重要的作用，尤其是在量子力學領域。

　　本文在概述變分法的基礎上，對量子力學變分原理進行分析，并通過一維諧振子對變分法在量子力學中的應用進行分析。

　　通過實踐證明，變分法在處理量子力學問題方面具有較大優勢，保證嘗試波函數選擇合理性，是實現變分法效果的關鍵。

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