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線性代數(shù)中矩陣的應用論文
線性代數(shù)中矩陣的應用論文【1】
摘 要：伴隨著社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，信息技術(shù)的進步，數(shù)學應用領域也得到了擴展，已從傳統(tǒng)物理領域擴展至非物理領域，于當前現(xiàn)代化管理、高科技的發(fā)展以及生產(chǎn)力水平的提升中有著非常重要的作用。
下面筆者就線性代數(shù)中矩陣的應用進行研究，借助于關(guān)于矩陣應用的典型案例來分析，以加深人們對矩陣應用領域的認識。
關(guān)鍵詞：代數(shù) 應用 線性 矩陣
線性代數(shù)作為數(shù)學分支之一，是一門重要的學科。
在線性代數(shù)的研究中，對矩陣所實施的研究最多，矩陣為一個數(shù)表，該數(shù)表能變換，形成為新數(shù)表，簡而言之就是若抽象出某一種變化規(guī)律，可借助于代數(shù)理論知識來對所研究的這一數(shù)表實施變換，以此獲得所需結(jié)論。
近年來，隨著社會經(jīng)濟發(fā)展速度的加快，科學技術(shù)水平的提高，線形代數(shù)中矩陣的應用領域也變得更為廣泛，本文就線性代數(shù)中矩陣的應用進行詳細地闡述。
1 矩陣在量綱化分析法中的應用
大部分物理量均有量綱，其主要分為兩種，即基本量綱與導出量綱，其中基本量綱有社會長度L、時間T以及質(zhì)量M，其他量均為導出量。
基于量綱一致這一原則，等號兩端的各變量能構(gòu)建一個相應的線性方程組，經(jīng)矩陣變換來解決各量之間所存關(guān)系。
比如勾股定理證明，假設某RT△斜邊長是c，兩直角邊長各為a和b，在此如果選△面積s，斜邊c，兩銳角a和β為需研究變量，則必定有以下關(guān)系，即，該公式中所存量綱有四個，其中有三個為基本量綱，則必然有一個量為無量綱，把上述量綱列成為矩陣，所獲矩陣圖形如，其中每一列表示一個變量量綱數(shù)據(jù)。
基于該矩陣，所獲解線性方程為，綜合上述方程可得解，即x11為2，x21為0，x31為0，因此，可得關(guān)系式，該公式中λ表示唯一需明確的無量綱量，從該公式可知RT△面積和斜邊c平方之間成比例。
在此，于該三角形斜邊做一高，把其劃分為兩個形似三角形，其面積各為s1與s2，此時，原RT△的邊長a和b則是兩個相似小三角形的斜邊。
通過上述內(nèi)容可知所獲原理和結(jié)論相似，則有s1=λa2與s2=λb2，因s1+s2=s，對此，基于此，可證明勾股定理，即為。
由于量綱分析在運算上所涉及到的內(nèi)容僅有代數(shù)，對此，若進行的試驗十分昂貴，一般在實驗前，人們傾向于事先在不同的假設下構(gòu)建若干的相似模型，接著擇優(yōu)選擇來進行實驗。
從側(cè)面上來講，這種方法對于部分常數(shù)還起到一定的壓縮或者恢復的作用。
2 矩陣在生產(chǎn)總值和城鄉(xiāng)人口流動分析中的應用
2.1 生產(chǎn)總值
3 結(jié)語
綜上所述，經(jīng)線性代數(shù)中矩陣在不同領域中應用案例的分析可知，矩陣所具潛能非常的大，伴隨著信息技術(shù)水平的提高，網(wǎng)絡技術(shù)的進步，矩陣的應用也會更加深入。
由于各學科間、各行業(yè)之間的交叉變得越來越頻繁，且界限也變得越來越模糊，在這種形勢下，數(shù)學這門學科所具基礎性也更為明顯，對此，在學科研究與行業(yè)研究中融入數(shù)學，不僅可使研究更加具有說服力，同時還可使研究變得更為簡潔，獲得更為合理且科學的研究成果。
參考文獻
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線性代數(shù)中矩陣的秩的運用及教學策略【2】
【摘要】線性代數(shù)是數(shù)學研究領域中的一個重要學科分支，矩陣是線性代數(shù)中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學的一個主要研究對象，也是數(shù)學研究的一個重要的工具。
矩陣的秩幾乎貫穿矩陣理論的始終，它在線性代數(shù)中扮演了重要角色。
本文根據(jù)線性代數(shù)中矩陣的秩的運用特點展開討論，提出幾點指導教學運用的具體策略。
【關(guān)鍵詞】矩陣的秩 線性代數(shù) 方程組 教學策略
一、前言
設在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r+l階子式(若存在)全等于0，那么稱D為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)。
并規(guī)定零矩陣的秩等于0。
顯然矩陣A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高階數(shù)。
還可以從向量組的角度來定義矩陣的秩，矩陣的行向量組的秩等于矩陣的列向量組的秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。
不管對于數(shù)學專業(yè)的學生學習高等代數(shù)或者非數(shù)學專業(yè)的學生學習線性代數(shù)來說，學習和理解它的含義都是十分必要的。
本文通過分析矩陣的秩在線性代數(shù)中的諸多作用， 逐步加深對這一概念本質(zhì)的理解， 進而真正掌握矩陣的秩并能靈活地運用它解決各種有關(guān)問題。
在開展教學活動時，教師需要立足于矩陣的秩的性質(zhì)，開展結(jié)構(gòu)知識網(wǎng)絡圖的建設工作，通過多種教學手段的使用，從而顯著提高教學效果。
二、秩與初等變換
教材中通常先引進矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念，并利用初等變換討論矩陣秩的性質(zhì)，然后利用秩討論線性方程組無解、有唯一解或有無無限多解的充分必要條件，并介紹用初等變換解方程組的方法。
初等變換不改變矩陣的秩。
利用這一性質(zhì)，我們得到了求矩陣的秩的一般方法―初等變換法。
要求矩陣的秩，可以對矩陣做初等變換，化為行階梯型，那么非零行的行數(shù)即為矩陣的秩。
通過初等變換我們還可以得到矩陣秩的諸多優(yōu)良性質(zhì)。
用初等變換法我們還可以用來求向量組的秩，將向量組對應成矩陣，初等變換法求出矩陣的秩，即為向量組的秩。
更進一步，我們還可以求出向量組中的最大線性無關(guān)組及向量組的線性相關(guān)性。
用初等變換法將矩陣化成行階梯型矩陣，找出不為零的最高階非零子式，它所在的行即為矩陣行向量組的一個最大線性無關(guān)組，所在的列即為矩陣列向量組的一個最大線性無關(guān)組。
如果向量組的秩等于向量個數(shù)，則向量組線性無關(guān);小于向量個數(shù)，則線性相關(guān)。
從而將向量組的線性相關(guān)性的判別這個讓學生感到棘手的問題簡單化為向量組構(gòu)成的矩陣秩與向量個數(shù)的大小比較問題。
三、秩與線性方程組
為了探討線性方程組無解、有唯一解或有無無限多解的條件，我們需要將系數(shù)矩陣的秩、增廣矩陣的秩與未知量的個數(shù)進行比較。
定理[1]：n元線性方程組 Ax = b
① 無解的充分必要條件是 R(A) ② 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A， b) = n ;
③ 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A， b) 例討論線性方程組解的情況，并在有無窮多解時求其解。
解：對方程組的增廣矩陣進行如下初等行變換：
(1) 當即系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3，此時方程組有唯一解.
(2) 當系數(shù)矩陣的秩為1，增廣矩陣的秩為2，此時方程組無解.
(3) 當此時方程組有無窮多組解.
方程組的增廣矩陣進行初等行變換可化為
故原方程組與下列方程組同解：
令可得上述非齊次線性方程組的一個特解;
元素，可得為該齊次線性方程組的一個解，它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎解系.此時原方程組的通解為
此外，注意到此題中方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相同，還可以先計算系數(shù)行列式，運用克萊默法則，易于確定參數(shù)的值，使問題簡單化。
從以下這個表中我們能更加清楚的認識矩陣的秩與線性方程組的解的情況之間的關(guān)系。
四、矩陣的秩的教學策略探討
首先，要讓學生明白學習矩陣的秩的重要性。
矩陣從來都是數(shù)學中的經(jīng)典內(nèi)容，是我們分析解決問題的一個強有力的工具，當然也是大學生必備的經(jīng)典知識。
其次，在線性代數(shù)中，矩陣的秩是個比較抽象的概念，它是教師教學的重點和難點。
若不注重方法直接介紹，學生將難以接受，接受勉強接受，也不能深刻地理解其定義與定理的具體的內(nèi)涵，更談不上在具體題目中能靈活運用這個數(shù)學概念。
教師要幫助學生深刻理解矩陣秩的概念，從學生熟悉的背景引入，兼顧知識難點嚴密性和形象性，用大量實例將概念具體化，不管是從行列式的角度還是從向量組的角度，都能清晰把握概念內(nèi)涵。
第三，在教學過程中要中深入剖向量組的線性相關(guān)性與矩陣的秩以及線性方程組解之間的內(nèi)在聯(lián)系，課堂教學過程中多選擇典型例題，例題就是抽象知識的具體化，通過典型的例題來解釋這些難懂的知識點。
第四，讓學生多做練習，使學生在運用中加深對難點的理解和把握，從中體會相關(guān)知識的聯(lián)系與區(qū)別。
比如，安排習題課讓學生進行課內(nèi)練習，教師可利用習題課對矩陣的秩的運用特點進行梳理和總結(jié)，幫助學生從整體上把握。
針對一些典型的習題，讓學生先認真思考驗算，再進行講評，提高學生分析和解決問題的能力。
五、結(jié)束語
對于數(shù)學問題的認知方面，學生應該全身心的參與，不應該僅僅局限在課本和例題這些固定的知識層面，還應該在題目的變式中得到錘煉和提高。
在線性代數(shù)講解活動中，老師應該循循善誘的幫助學生樹立起探索數(shù)學復雜題型的信心，在線性代數(shù)中矩陣秩的具體習題練習中得到思維發(fā)散與提高。
參考文獻：
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