高職院校常微分方程教與學論文

　　高職院校常微分方程教與學論文【1】

　　摘 要：常微分方程是高職院校理工科專業開設的高等數學課程中重要的知識內容之一。

　　文章針對高職院校的學生特性和常微分方程知識點的特性， 分析教學內容及方法，引導學生透過現象看本質，從繁到簡如何學好常微分方程相關內容。

　　關鍵詞：常微分方程;教與學

　　常微分方程是高職院校高等數學的一個組成部分，，在高等數學中占據著重要位置，在理工科的專業課程中涉及廣泛。

　　常微分方程不同于一般的方程，一般方程反應的是變量之間的函數關系式，而常微分方程是反應待求函數及其導數之間的關系式，在建立微分方程后，找出滿足該方程的未知函數的過程，就是解微分方程。

　　常微分方程對解決實際問題具有重要的意義。

　　常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學反應過程穩定性的研究等。

　　這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題。

　　應該說，應用常微分方程理論已經取得了很大的成就，但是，它的現有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發展，使這門學科的理論更加完善。

　　高職院校在高等數學課程中講解常微分方程，主要是為各專業課程服務，使學生在后續的專業課程學習和工作中能夠理解分析并運用常微分方程，分析處理相關問題。

　　一、教學分析

　　(一)學生特性。

　　目前，高職院校的生源都是高等本科院校錄取后的生源，其來源主要有三類：一是通過普通高考招收普通高中生，二是通過對口考試招收的職業高中生，三是3+2、2+3考試招收的中專、職中生。

　　(二)教學內容特性。

　　可分離變量的微分方程;一階線性微分方程及其應用;二階常系數齊次線性微分方程和二階常系數非齊次線性微分方程。

　　這些內容只是常微分方程領域里的冰山一角，但對于高職院校學生來說具有一定的難度。

　　如何引導學生掌握相關的知識，并將所學內容運用到平時的工作和生活中，最終達到提高分析和解決問題能力的素質目標。

　　是承擔常微分方程內容教學面臨的一個具體而現實的問題。

　　二、教學思路

　　(一)把握學科特性。

　　數學的學習，簡單說來，就是定義、公式、性質、定理等的理解與運用。

　　常微分方程作為數學的一個分支，學習的過程中同樣具有這些特性。

　　所以我們在學習定義、公式、性質、定理等知識點的時候特別強調理解的重要性，在學習例題和做練習題時則強調能活運用的重要性。

　　(二)把握知識點特性。

　　(1)微分方程的基本概念。

　　從微分方程的定義我們可以知道，一個方程中只要含有未知函數的導數(或微分)，就可判斷為微分方程。

　　所以我們在理解基本概念的時候要抓住主要特性。

　　(2)可分離變量的微分方程。

　　該微分方程的特點是等式右邊可以分解成兩個函數之積，其中一個僅是x的函數，另一個僅是y的函數，即f(x)，g(x)分別是變量x，y的已知連續函數.可分離變量的微分方程的 求解方法，一般有如下兩步：

　　第一步：分離變量g(y)dy=f(x)dx，

　　第二步：兩邊積分

　　第三步：計算上述不定積分，得通解。

　　因此，求解可分離變量的微分方程，只需兩步：第一步，分析化簡為可分離變量的微分方程;第二步，兩邊積分求得其通解。

　　(3)一階線性微分方程及其應用。

　　1)先求出非齊次線性方程所對應的齊次方程的通解;

　　2)根據所求出的齊次方程的通解設出非齊次線性方程的解(將所求出的齊次方程的通解中的任意常數C改為待定函數)即可。

　　3)將所設解代入非齊次線性方程，解出，并寫出非齊次線性方程的通解。

　　一階線性微分方程的學習最后濃縮成兩個公式，一是齊次線性方程通解的表達式;而是非齊次線性方程通解的表達式。

　　一階線性微分方程的應用實際上是這兩個公式運用于實際的過程，或者說運用這兩個公式解決實際問題的一個過程。

　　(4)二階常系數齊次線性微分方程。

　　首先應會判斷什么是二階常系數齊次線性微分方程，然后理解二階常系數齊次線性微分方程通解的形式。

　　求二階常系數齊次線性微分方程的通解的步驟為：

　　第一步，寫出微分方程的特征方程;

　　第二步，求出特征根;

　　第三步，根據特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。

　　兩個不等實根

　　兩個相等實根

　　一對共軛復根

　　所以，求解二階常系數齊次線性微分方程，掌握這三種情況，直接套用公式就能游刃而解。

　　(5)二階常系數非齊次線性微分方程。

　　二階常系數非齊次線性微分方程的求解方法，由非齊次線性方程解的結構定理可知，求非齊次方程的通解，可先求出其對應的齊次方程的通解，再設法求出非齊次線性方程的某個特解，二者之和就是二階常系數非齊次線性微分方程之通解。

　　三、教學結論

　　常微分方程這一模塊，涉及到微分方程的基本概念;可分離變量的微分方程;一階線性微分方程及其應用;二階常系數齊次線性微分方程和二階常系數非齊次線性微分方程。

　　在具體的學習過程中，首先會判斷屬于那種形式的微分方程，如果是可分離變量的微分方程，直接分離變量再積分就可。

　　如果是一階線性微分方程，根據齊次和非齊次而套用不同的通解公式即可求出通解。

　　如果是二階常系數齊次線性微分方程或者二階常系數非齊次線性微分方程則根據實際情況套用相關公式，再計算化簡涉就能求得通解。

　　所以，在解常微分方程的過程中，先看微分方程符合哪類，然后再根據具體情況運用公式求通解。

　　求解常微分方程簡單而言就是套用公式的過程。

　　高職院校學生在學習的過程中，只看到了常微分方程復雜的表面，實際上如果稍微深入研究就會明白，在常微分方程類型確定后，只是一個套用公式由繁化簡的過程。

　　什么類型就套用什么公式，然后計算化簡求通解。

　　綜上所述，我們在常微分方程的學習中要透過繁雜的表面看簡單的本質，透過繁瑣的文字說明看體現本質的核心內容。

　　這樣就能由繁到簡的學好常微分方程。

　　參考文獻：

　　[1] 王高雄，周之銘.常微分方程[M].2 版.北京：高等教育出版社，1983

　　[2] 李宏平.廖仲春.應用數學[M].湖南大學出版社，2010

　　高職數學常微分方程教學論文【2】

　　摘 要： 本文對常微分方程的案例教學進行了探索，分析了如何在課程教學中引入適當的案例調動學生的學習積極性，從而提高學生的學習興趣。

　　關鍵詞： 常微分方程 教學案例 高職數學教學

　　微分方程是研究自然現象及現實生活中很多問題的強有力工具，一般涉及“改變”、“衰變”、“邊際”、“運動”、“逃跑”等等詞語的確定性問題往往是微分方程模型，因而應用極其廣泛。

　　然而，常微分方程這門課理論性很強，其概念、解法、定理等均較為抽象，最后導致學生只會求解方程，卻不知道有什么用，更有不少學生產生厭學心理，這與我們的教育目標是背道而馳的。

　　歸結起來，原因有三：一是教師主導，學生被動接受，學生的主觀能動性不能正常發揮;二是強調理論，忽視實踐;三是教學手段單一，沒有充分使用信息化的工具。

　　為了彌補以上不足，以一階微分方程中的可分離變量類型的講解為例，我進行了改進，選取簡單且學生感興趣的案例引入相應的內容。

　　例1(動力學問題：跳傘運動員為什么能安全著地)：降落傘打開后，運動員下落時的阻力驟增，使下落速度的增加減緩，從而保障了跳傘運動員的安全。

　　在速度不太大的情況下，空氣阻力可以看做與速度v成正比，下面我們用微分方程的相關知識研究這個問題。

　　這里，不妨假設運動員一開始就打開了降落傘，并且初始速度為零(事實上，這一假設并不影響最后的結果)。

　　由牛頓第二定律，建立運動員下落的運動方程：

　　以上列舉了三個例題，當然在實際過程中可舉一例作為引入，其他作為練習。

　　在實際授課過程中，可以先拋出問題，激發學生學習的興趣。

　　待學習相關解法后，鼓勵學生自己求解，同時利用相應的數學軟件如mathematiaca\matlab等進行驗證。

　　整個過程充分調動了學生的學習積極性，實現了理論和實踐的結合，對于培養學生分析、解決問題的能力收到了較好的效果。

　　在常微分方程教學中結合學生感興趣的案例教學，將理論知識與實際應用相結合，一方面可以提高學生的學習興趣，另一方面可以使學生了解數學知識的應用，樹立學好數學的信心。

　　在此過程中還可以逐步培養他們對數學建模的興趣，提高他們分析問題、解決問題的能力。

　　參考文獻：

　　[1]王高雄等.常微分方程(第三版).高等教育出版社.北京，2006.

　　[2]陽明盛，林建華.mathematica基礎及數學軟件.大連理工出版社.大連，2003.