不定積分的積分方法論文

　　不定積分的積分方法論文【1】

　　摘 要： 在高職高專院校高等數(shù)學(xué)的不定積分章節(jié)的學(xué)習(xí)中，有三種積分方法，分別是第一類換元積分法，第二類換元積分法和分部積分法.部分學(xué)生在積分運(yùn)算中，對積分方法的選擇不知如何著手.針對這種現(xiàn)象，本文對三種積分方法加以總結(jié)，以便學(xué)生對積分方法能更好地掌握.

　　關(guān)鍵詞： 不定積分 換元積分法 分部積分法

　　一、第一類換元積分法

　　定理1(第一類換元積分法)設(shè)f(u)具有原函數(shù)，u=φ(x)可導(dǎo)，則有換元積分公式

　　f[φ(x)]φ′(x)dx=[f(u)du].

　　第一類換元積分公式實(shí)質(zhì)上就是：f[φ(x)]φ′(x)dx=f[φ(x)]d[φ(x)].

　　第一類換元積分公式在運(yùn)用過程中，應(yīng)用的關(guān)鍵是確定新的積分變量φ(x)，那么如何確定φ(x)?方法有如下兩種.

　　1.通過對所求不定積分中被積函數(shù)的觀察，發(fā)現(xiàn)函數(shù)中既含有φ(x)又含有φ′(x)，則我們就可以猜測出新的積分變量為φ(x).

　　例如：求dx

　　分析：所求不定積分的被積函數(shù)為，因?yàn)?lnx)′=，所以我們可以把看做lnx，則新的積分變量φ(x)=lnx.

　　解：dx=[lnx]dx=lnxd[lnx]=lnx+C

　　2.通過對所求不定積分的觀察，猜測出所要運(yùn)用的基本積分公式，基于這個(gè)公式確定新的積分變量φ(x).

　　例如：求sin3xdx

　　分析：所求不定積分為sin3xdx，觀察后發(fā)現(xiàn)我們所用的基本積分公式為sinxdx=-cosx+C，但是所求積分的被積函數(shù)不是sinx而是sin3x，我們可以把3x看做一個(gè)整體，就是新的積分變量φ(x)，即φ(x)=3x.

　　解：sin3xdx=[sin3x]3dx=[sin3x]d[3x]=[sin3x]d[3x]=-cos3x+C

　　二、第二類換元積分法

　　定理2(第二類換元積分法)設(shè)函數(shù)x=φ(t)單調(diào)，可導(dǎo)，且φ′(t)≠0，f[φ(t)]φ′(t)的原函數(shù)存在，則有換元積分公式

　　f(x)dx=[f[φ(t)]φ′(t)dt]，

　　其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函數(shù).

　　第二類換元積分公式在何時(shí)運(yùn)用?我認(rèn)為：重點(diǎn)是解決被積函數(shù)中含有“根號”的積分問題.那么在學(xué)習(xí)中遇到的常見的含有根號的情形有幾種呢?我總結(jié)了一下共有四種，分別是：;;;.

　　如何消除被積表達(dá)式中的根號?做適當(dāng)變量替換即可，針對以上四種情形具體替換如下：

　　① 對，設(shè)t=;

　　② 對，設(shè)x=asint;

　　③ 對，設(shè)x=atant;

　　④ 對，設(shè)x=asect.

　　原來關(guān)于x的不定積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不定積分，在求得關(guān)于t的不定積分后，必須代回原變量.在進(jìn)行三角函數(shù)換元時(shí)，可由三角函數(shù)邊與角的關(guān)系，作三角形，以便于回代.在使用第二類換元法的同時(shí)，應(yīng)注意根據(jù)需要，隨時(shí)與被積函數(shù)的恒等變形、不定積分性質(zhì)、第一類換元法等結(jié)合使用.

　　例如：求dx

　　分析：所求不定積分的被積函數(shù)中含有根號，符合上述情形中的第三種，由此我們做替換x=2tant即可.

　　解：dx=•2sectdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln++C=ln(+x)+C

　　三、分部積分法

　　分部積分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx(其中u=u(x)與v=v(x)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù))

　　分部積分法主要是解決被積函數(shù)是兩類不同類型函數(shù)乘積的不定積分問題.這里我們所說的函數(shù)類型指的是反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)五種基本初等函數(shù).當(dāng)然在具體應(yīng)用時(shí)被積函數(shù)未必是這五種類型，有可能是相似的類型，我們在應(yīng)用公式前，只需要將所求的不定積分運(yùn)用其他的積分方法適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為這五種函數(shù)即可.

　　應(yīng)用分部積分公式的關(guān)鍵是確定公式中的u和v′，如何確定它們?可按照反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的順序(即“反、對、冪、三、指”的順序)，把排在前面的那類函數(shù)選作u，而把排在后面的那類函數(shù)選作v′.

　　例如：求xsinxdx

　　分析：不定積分中的被積函數(shù)xsinx為兩類不同類型的函數(shù)乘積，所以我們就要應(yīng)用分部積分法，其中u為x，v′為sinx，則u′=1，v=-cosx把上述四項(xiàng)代入公式即可.

　　解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C

　　小結(jié)：我們學(xué)習(xí)以上三種積分方法的目的就是要把我們所計(jì)算的不定積分問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的基本積分公式來處理，當(dāng)然，這些積分方法在運(yùn)用時(shí)往往不是單獨(dú)使用，大多數(shù)情形下都是混合使用，甚至要多次使用.

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]同濟(jì)大學(xué)，天津大學(xué)，浙江大學(xué)，重慶大學(xué)編.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2004.6，第2版.

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　　[3]陳傳樟等.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.

　　不定積分計(jì)算方法的思考【2】

　　摘 要： 本文通過分析不定積分計(jì)算教與學(xué)中的困難，提出老師和學(xué)生要注意的問題，并對幾種常用方法作了分析。

　　關(guān)鍵詞： 不定積分計(jì)算 困難 分析 常用方法

　　不定積分是大學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于計(jì)算問題的一個(gè)重要內(nèi)容，是定積分、重積分、線面積分計(jì)算、微分方程求解的基礎(chǔ)。因此，熟練掌握不定積分的計(jì)算方法與技巧，對于學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分必要的，然而它的計(jì)算卻存在著一定的難度。

　　一、不定積分計(jì)算的困難及分析

　　不定積分計(jì)算的困難首先是由其概念本身帶來的，因?yàn)閺那髮?dǎo)的逆運(yùn)算引進(jìn)，造成了它的計(jì)算是非構(gòu)造性的一類運(yùn)算，它與求導(dǎo)相比有著顯著的不同，求導(dǎo)有一定的公式可套，但求不定積分并非如此。

　　不定積分計(jì)算的困難還在于錯(cuò)誤的思考方法，對于學(xué)生來說，解題往往通過“猜”的方式，猜原函數(shù)，這顯然相當(dāng)?shù)睦щy;在老師方面，不定積分的教學(xué)也是一個(gè)難點(diǎn)，老師的任務(wù)是理出方法，教會(huì)學(xué)生如何理解方法，而不是憑感覺。

　　現(xiàn)實(shí)存在的問題有兩個(gè)：一是當(dāng)在指定讓學(xué)生用哪種方法解決時(shí)，學(xué)生可以做到，但如果把方法混在一起，學(xué)生往往不知道用哪種方法;二是在當(dāng)時(shí)學(xué)生會(huì)解決的題目，時(shí)間久了，學(xué)生就忘記了。原因都在于學(xué)生沒有真正理解透各種方法的本質(zhì)特點(diǎn)，面對問題時(shí)，不知道怎么根據(jù)其特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

　　二、不定積分計(jì)算的方法思考

　　在介紹積分方法時(shí)，老師首先應(yīng)提醒學(xué)生注意被積函數(shù)的多樣性，而不同類型的被積函數(shù)就需要不同的積分方法來解決，對于一個(gè)給定的f(x)，要求f(x)dx，這是一個(gè)未知的問題，從宏觀上說我們要將未知的問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識來討論。那么就存在兩個(gè)問題：已知的是什么?怎么轉(zhuǎn)化過去?

　　課本根據(jù)求導(dǎo)與不定積分的關(guān)系由基本求導(dǎo)公式給出了積分基本公式，它們可以作為已知的知識，那么不能直接由積分公式解決的問題，就要通過幾種轉(zhuǎn)化方法轉(zhuǎn)化到現(xiàn)有的公式上，轉(zhuǎn)化的依據(jù)要根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)化方法的特點(diǎn)。常用方法有以下幾種。

　　1.基本變形。這個(gè)方法是由不定積分的性質(zhì)線性引出的，只要做恒等變形就可以將要求的不定積分轉(zhuǎn)化到基本積分公式中去，它的特點(diǎn)就是多個(gè)變單個(gè)。

　　2.湊微分法。顧名思義，關(guān)鍵在于一個(gè)“湊”字，如果能想到如何“湊”，則題目會(huì)迎刃而解，若想不到方法，則會(huì)無處入手。因此，歸納并熟記常用的湊微分公式是十分必要的。

　　老師在講解這個(gè)方法的時(shí)候可以先通過幾個(gè)簡單的湊微分的例子引出湊微分這個(gè)方法，以形象地觀察出湊微分法的本質(zhì)、特點(diǎn)，書上給出的定理是比較抽象的，在對其證明中，可以采取比較通俗的方式，如：要驗(yàn)證f[φ(x)]・φ′(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C是否成立，只要驗(yàn)證(F[φ(x)]+C)′=f[φ(x)]・φ′(x)是否成立。

　　如果成立，則證明了該定理，也證明了前幾個(gè)例子的做法是正確的。再結(jié)合例子和定理歸納出湊微分法的特點(diǎn)就是“變元再協(xié)同”。

　　有些例題要“湊”多次，老師可以舉相關(guān)例題讓學(xué)生充分體會(huì)湊微元法的本質(zhì)特點(diǎn)是變元再協(xié)同中的“再”，總的來說湊微元法就是一個(gè)“變元再協(xié)同”的過程。

　　3.變量代換法。從被積函數(shù)中會(huì)發(fā)現(xiàn)一些難以處理的因式，使用湊微元怎么也協(xié)同不了，在講解這個(gè)方法的時(shí)候可以先舉幾個(gè)這樣的例子，告訴學(xué)生思考這個(gè)問題的方法，多列幾個(gè)學(xué)生就會(huì)知道想辦法去掉難以處理的因式，當(dāng)然是有多種代換方法的。在學(xué)生接受了這種思路后再給出定理，證明手段類似湊微元的證明。

　　例1：求.

　　思路一：被積函數(shù)中既有x，又含有x，所以我們想辦法通過變元都協(xié)同到x上，然后再觀察，再協(xié)同。

　　解一：===

　　=d=d

　　=arctan+C

　　思路二：考慮被積函數(shù)中含有根號，想辦法去掉根號，使用三角代換很容易將其算出。

　　觀察這兩種方法的各自特點(diǎn)，第一種思路它比較難想到，但計(jì)算起來比較簡單，第二種方法它雖然操作起來相對麻煩一些，但指向性非常明確。

　　三角換元法一般是把被積函數(shù)中含有的，分別用x=asint，x=atant，x=asect做變換去掉根式，沒有太多的技巧，但是有些含有這樣根式的不定積分不需要采取變量代換的方法，例如xdx，dx，被積函數(shù)中含有了比較難處理的因式，而變量代換就是起到一個(gè)去掉難處理的因式的作用，但在有些題目中只要用湊微元做就可以了，提醒學(xué)生不要犯教條。

　　4.分部積分。其基本公式為udv=uv-vdu，此方法用于求udv不易，而求vdu較易的題目。在運(yùn)用分部積分法關(guān)鍵是u與dv的選取，掌握此方法的一個(gè)關(guān)鍵在于你要對哪個(gè)求導(dǎo)，du是一個(gè)局部求導(dǎo)，求導(dǎo)之后要方便運(yùn)算才有意義。

　　例2：求xedx.

　　分析：被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)e與三角函數(shù)x的乘積，用分部積分有兩種方案：xedx=edx=ex-xdexde，第一種方案是對e局部求導(dǎo)，而我們知道對它求導(dǎo)還是本身，所以解決不了根本問題，所以學(xué)生在做題的時(shí)候要思考到底對誰局部求導(dǎo)能達(dá)到目的，這題中對x局部求導(dǎo)就可以去掉這個(gè)因式，所以選擇第二種方案。

　　這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求我們要對各類積分法進(jìn)行總結(jié)比較，分析各類積分方法的特征，達(dá)到掌握并熟練運(yùn)用的目的。

　　參考文獻(xiàn)：

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　　[2]仉志余.大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用教程(上冊)[M].北京大學(xué)出版社，2006.8.

　　[3]夏磊.不定積分在高職教學(xué)中的教學(xué)淺析[J].教育研究與實(shí)踐，2008，(12).