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數學例題的教育功能的拓展論文
眾所周知，例題教學是高中數學課堂教學的重要環節.可是在日常教學中，部分教師的例題教學具有太多的隨意性，影響例題教學功能的正常發揮.帶著這個問題，筆者不拘泥于校內，廣泛學習，開展教學研究，有所領悟.下面以一節高三復習課為例，探討例題教學的功能問題.
一、聽課筆錄
1.流淌一題多解，打開解題思路
教師:零點問題是函數的重點問題，也是高考的熱點問題，請大家一起來探討題目:“已知函數f(x)=2a+2x-3-a在區間[-1，1]上有零點，求實數a的取值范圍”的解法.
學生1:當a=0時，函數在區間[-1，1]上沒有零點，不合題意，故a≠0.
當a≠0時，二次函數f(x)在區間[-1，1]上有一個零點或兩個零點，故f(1)f(-1)≤0或
教師:好!一人一種方法，兩位同學就給出了兩種解法，打開了解題思路.學生1根據二次函數的圖象，將零點分布問題轉化為解不等式組的問題，自然流暢.學生2巧妙地將零點分布問題轉化為考察兩條曲線交點個數問題，數形結合，進一步轉化為解不等式組的問題，一氣呵成.兩位同學勇于探索，殊途同歸，都是利用數形結合的思想，將問題轉化為解不等式組的問題，值得大家學習.但是答案不同，問題出現在哪里?你還有不同的解法嗎?
2.審視思維過程，利用錯解資源
學生3:學生1的思路容易想到，不但利用了數形結合思想，還用到了分類討論的思想.但是解不等式組時出現了計算方面的錯誤，結果是“1≤a≤5或或a≥5”，即學生2的答案是對的.
學生4:學生2得到的不等式組有些突然，兩個同學的答案不同，使我懷疑學生2的結果，順著他的思路想下去，通過畫圖，感到思路其實也很簡單、自然.當a>0時，拋物線的開口向上，頂點在y軸的負半軸上，拋物線與直線的交點的橫坐標在區間[-1，1]上;當a<0時，拋物線的開口向下，頂點在y軸的正半軸上，要以直線的縱截距為分類標準展開討論.當a≤-3時，與a>0時的做法類似;當-3<0時，拋物線與直線從相交到相切，故得出-3><.>
學生5:之所以感到這種問題的挑戰性，錯誤常發生在所列出的不等式(組)，但是，有時也發生在解不等式組.因此，解題時既要重視解題思路的探求，也要重視運算、變形等操作層次的基本功訓練.當答案不同時，可以運用“一題多解”進行驗證，把思路打開.
教師:有見解!學生3和學生4不但審視了兩位同學的思維過程，而且從宏觀著眼，提出了解決問題的數學思想，從微觀入手，提出了問題解決過程中的細節問題.學生5從學生1的錯解和自己的解題經歷出發，談解題心得體會.請大家重新審視學生1和學生2的解題思路，思考得到的不等式組的合理性，驗算結果，看看從中還能得到什么啟發?
3.多向提出問題，溝通因果關系
教師:好，有點探索的味道.不過，這個問題與所討論的題目有什么關系呢?
教師:好哇!學生7建立了與已有問題的聯系，利用學生1的方法求解，體現了一法多用.學生8更是另辟蹊徑，將零點分布問題轉化為求函數的值域問題，讓人耳目一新.但是，兩人的結果又不一樣，怎樣評價?
教師:學生9具有實事求是的科學態度，驗算能夠“吸取精華，去掉糟粕”，誰又能夠解答學生9的困惑?
學生10:問題發生在轉化的等價性方面，即不是充要條件.因此，對于區間端點，還是要進行檢驗.
4.聚焦解題智慧，升華數學思想
教師:不錯，學生10既找出了錯因，也提出了解決問題的辦法.只有幾分鐘就要下課了，大家發掘一下，可能得到更多啟迪，受到更多啟發.
學生11:解決函數零點問題有三種途徑，一是直接根據函數零點存在條件得到不等式(組);二是轉化為兩個函數圖象的交點問題，按照交點位置建立不等式(組);三是分離參數，轉化為求函數的值域.
學生12:溝通了函數的單調性與函數零點的關系，函數在給定區間不單調，其本質是它的導函數在這個區間有零點，且沒有相同的零點，2009年高考數學浙江卷文科第21題第(Ⅱ)問、理科第22題第(Ⅰ)問(其實就是學生6給出的題目)都是這樣的問題.
學生13:我用學生8的方法求解第一個題目，能夠得到正確的答案，但是在分離參數時遇到要考慮系數不為零的問題.
學生14:學生11概括的三種方法，都是在化歸思想、數形結合思想、分類討論思想指導下，得到不等式(組)，體現了數學思想在數學解題中的指導作用.
學生15:說實在的，這些問題我感覺較難，難就難在如何正確得到不等式組.通過這節課的學習，我找到了破解“含參函數零點(不單調)問題”的思想方法.
學生16:當我們遇到不太容易的問題時，我們要聯想與之相關的問題，用熟悉問題的處理方式、已有的方法去解決問題;當不太容易的問題得到解決后，我們還要聯系與之相關的問題，比較分析，組題研究，以尋求一類問題的解決方法和解題規律.
教師:真是太好了!學生12溝通了函數的單調性與函數零點的關系，多題歸一，有化歸意識;學生15給這節課的問題“命名”，給出了問題的識別標志;學生11總結得到這類問題的三種解法，為大家提供了解決問題的方法;學生14結合探索過程，概括了解決問題的數學思想;經過學生16的升華，升格為我們處理不太容易問題的思想策略;請大家關注學生13的問題，作為研究性學習課題，對這節課的問題進行深入研究，我想大家還會有意想不到的收獲.
二、教研思考
1.生“動”:發揮例題教學的基本功能
文[1]認為，“生動”課堂的內涵還應涵蓋學生的表現，要看學生是否積極參與了課堂，即“生動”課堂要求生“動”，這里的“動”不僅要有“學生的說、學生的做”這些顯性的動，更要有“學生的思、學生的想”這些隱性的動.
應該說，案例中教師給出的例題對學生具有智力挑戰性.但是，作為高三第一輪復習的一節綜合應用課，具有思維訓練的價值.本節課中，“學生的說、學生的做”這些顯性的動比較多，有15位學生上黑板進行板書或發表意見，教師給出例題后，學生進行了8分鐘的自主探索，就是學生5談解題心得體會后，教師還要求學生“重新審視學生1和學生2的解題思路”，進行驗算.生“動”，增加了學生的體驗、說的底氣;生“動”，提供了思的素材、思的線索;生“動”，帶動了學生的思、學生的想”，發揮了例題教學導思、導行等方面的基本功能.
其實，例題教學的功能是多方面的.例題教學是使學生掌握數學基本知識，形成數學基本技能，領悟數學基本思想方法，發展數學能力，改變學習方式的重要環節.按照一定的教學意圖設置一定的例題，是發揮例題教學基本功能的基礎.正例可以同化知識，強化數學概念;反例可以順應知識，重組認知結構;匹配好的例題、練習題的解題教學，可以訓練思維，引領研究性學習.
當然，一個例題不可能承載眾多的教育功能，就是有較多的教學功能也不可能在一節課中發揮得淋漓盡致，畢竟一節課的教學時間是有限的.要按照教學目標設計例題教學，以發揮例題教學的基本功能、保障教學意圖的落實.對于學生確有困難的題目，可以引導學生先審題，探求出解題思路后，再讓學生動手去做、去落實.對于一般的例題，可以讓學生先做、先嘗試，積累一定的經驗后再組織學生去研討.
2.“互動”:突出例題教學的主要功能
文[2]認為，“在培養思維能力的成效上，對一個問題從不同層次和維度上開掘100次，比對100個問題各只淺挖1次的效果要好得多”.
案例中，對例題的“開掘”有獨到之處.教師給出例題后，學生進行了8分鐘的自主探索，從不同維度進行“開掘”.15位學生上黑板進行板書或發表意見，在互動中
匯集他們從不同層次和維度上“開掘”得到的信息，生成新的“開掘”點和“開掘”方向，引發思維“風暴”，時而發生認知“沖突”，引出探索問題;時而產生思維“碰撞”，閃爍理性智慧.互動，增添了學生學習的信心、心靈感應;互動，產生了各種“意外”、探索氛圍;互動激發了學生參與的熱情，促進了學生的思維運動，突出了培養思維能力的主要功能.
一節課，例題教學的主要教育功能是什么?這既取決于教學目標，又取決于學生的現實水平，還取決于教師對課標的理解及教學立意.從聽課筆記中可以看出，本課例中教師試圖通過解剖所提供的問題，引導學生探求解決“含參函數零點問題”的思想方法，以此為“抓手”，培育、發展學生的思維能力.而從學生課堂上的表現也可以看出，素材選擇符合學生的實際，教法有利于落實教學意圖、突出思維訓練功能.
3.“聯動”:追求例題教學功能最大化
所謂聯動，狹義上講，是指知識之間的前后聯系、個體的思維運動，前面的積累是后續學習的基礎，后續學習又不斷深化對前面所學東西的認識，相互聯系，形成學習觀點的變化，促進個體思維進動;廣義地說，是群體的價值聯系、聯合行動，它得到群體認同，產生群體行動，形成一定的氛圍，促進群體思維運動.
案例給人的感覺是“聯動”效應.從學生6提出的問題可以看出，學生6注意積累、關注知識之間的前后聯系，由當前問題能夠聯想到與之相關聯的問題.他的問題得到了群體的響應，有學生7利用學生1的方法所進行的嘗試，還有學生8“另辟蹊徑，將零點分布問題轉化為求函數的值域問題”求解的探索.從而溝通了函數零點與函數單調性的關系，為群體提供了研究性學習材料和研究方法.特別是課堂的“后半段”，學生參與小結，一個個來自學習過程的真實感受，一個個閃爍著理性與智慧的發言，得到了群體的呼應，推動著群體的思維運動。
新課程倡導“以學論教”，主張為學生的“終身學習”奠定基礎.課例中教師不拘泥“預設”，實行教學民主，尊重學生的首創精神，以學生的問題、觀點為出發點，生成教學資源，引領探究活動，引導學習方式，為落實新課程教育理念進行了有益的探索、積極的嘗試.當然，不能說課例盡善盡美，比如學生12說“2009年高考數學浙江卷文科第21題第(Ⅱ)問、理科第22題第(Ⅰ)問”就是相關的問題，教師可以利用現代信息技術展示給學生看，以此強化學生的問題意識、聯系的學習觀點和利用信息技術手段解決問題的觀念.
不應該苛求一節課例題教學功能的全面性，但要追求例題教學功能，特別是主要功能的最大化.我們應該將課程目標分解到各個教學模塊、各節數學課，不斷強化導學、導思、導行功能，以追求“不教而教”的終極目標。
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