數學思維訓練匯編
《學而思培優·數學思維訓練匯編:小學奧數5年級(視頻講解)》以各杯賽出題方向為依據,按照奧數學習的模塊分計算、計數、應用題、行程問題、幾何、數論、組合七個大專題,共三十六講編寫。
題目皆選自全國各大杯賽試題,題型全面,包含所有小學年級奧數知識點,且題目分類詳盡;題目難易程度按星級由簡至難排布,且有詳盡的答案解析。
本書針對小學思維訓練拓展。
為什么競賽選手走向社會之后會有這么多的成功者?我想原因主要有以下三點:
一是數學解題對學生思維能力的訓練是任何其他學科所不能比擬的。
雖然其他學科對于思維訓練也有很大益處,但沒有哪門學科對于學生的注意力、觀察力、邏輯思維能力、記憶力、空間想象能力的訓練像數學這樣的全面和有針對性。
二是數學題目和數學問題本身的難度較大,對學生的毅力和獨立思維的意志品質是一個很好的磨煉。
三是在學習數學的過程中尤其需要學生的自學能力。
數學競賽的題目范圍及難度往往略高于學校的教學大綱,對于解題思想的考查則不局限于學校的教學內容,學生為了取得新的突破,必須通過獨自鉆研,或者與同學及師長交流討論。
如何提高數學思維【2】
(1)追根究底,培養思維的深刻性
思維的深刻性指善于透過紛繁復雜的表面現象發現問題本質。
在數學教學中,對于概念中的重點字、詞,教師要進行強調,并講清它們的含義;對于數學定理、公理中的條件和結論,要徹底講清楚,要讓學生深刻地理解所學的知識,對所學的知識追根究底,透過現象看本質,抓住問題的本質所在;對于數學中相關聯的內容,要引導學生學會對比和類比,使他們通過比較,加深對所學知識的理解,同時也有助于對所學知識的記憶 。
(2)多角度、多層次考慮問題,培養學生思維的廣闊性
思維的廣闊性指善于全面地考察問題,從事物多種多樣的聯系和關系中去認識事物。
在數學教學中,要教育學生學會多角度、多層次、全面地思維,找到數學知識間的內在聯系。
我們知道數學知識間的聯系是無處不在的,如:一元二次方程、二次函數和一元二次不等式就聯系密切;二次函數中,函數值為零就變成了一元二次方程;函數值大于或小于零時,就是一元二次不等式,找到知識間的聯系后,就能很快地利用二次函數的圖象,解一元二次不等式。
在數學教學中不僅要把握數學問題的整體,而且要抓住它的基本特征和特殊因素,找到問題的突破口,從而解決數學問題,這樣有利于培養學生思維的廣闊性。
(3)活學活用,培養思維的靈活性
思維的靈活性是指能夠根據客觀條件的發展和變化及時地改變方法,尋找新的解決問題的途徑。
在數學教學中,教師要讓學生在掌握所學知識的同時,還要注意教授學生一些數學的基本思維和方法,如:化歸的思維方法、轉化的思維方法、比較的方法、形與數互相結合和轉化的思維方法,以及在解題時經常用到的分析法和綜合法等等,幫助學生在解題時,尋找問題的突破口,抓住問題實質,提高分析問題、解決問題的能力。
對于數學中的公式,要讓學生知道公式的正用、逆用、變用、活用、巧用及綜合運用,能靈活地運用公式,解答數學題。
教師要鼓勵學生用非常規的方法去解題,大膽嘗試,這都有利于培養學生思維的靈活性,要克服思維的呆板,避免循規蹈矩,提高應變能力。
(4)多練精練,培養思維的敏捷性
思維的敏捷性是指思維過程的簡縮性和快速性。
數學教學中,做題是必不可少的一個重要環節,只有做一定量的題,才能掌握數學知識。
教師在教學中,可以通過適當的練習,讓學生掌握所學的知識,熟悉所學的公式,學會解題的方法和技巧,能迅速從題中抓住本質,找到解題的關鍵。
練習題要精選,既要達到鞏固所學知識的目的,又要避免同一類型的題大量地重復做,只有這樣才能做到在解題時,正確地、敏捷地解出答案。
(5)鼓勵發散思維,培養思維的創造性
思維的創造性是指獨立思考創造出有社會(或個人) 價值的具有新穎性成分的成果的智力品質。
創造性思維是創造力的核心。
心理學家吉爾福特認為智力結構中的每一種能力都與創新有關,但發散思維與創新的關系最為密切。
發散思維是一種開放性的思維。
在數學教學中,要啟發學生多思考、多提問。
勤思善問是創新思維的開始,教師應當允許學生有不同的看法和新見解,對于學生的探索精神以及獨到的、新穎的解題方法或解題思路,教師要給予肯定和鼓勵。
在平時的例題講解中,采用題型發散、解法發散、縱橫發散、變更命題發散、轉化發散、遷移發散等多種形式,對學生進行多思、多變、多解的解題輔導,使他們思考問題時,注重多途徑、多方案,解決問題時注重舉一反三,觸類旁通,這對于培養學生思維的創造性至關重要。
要讓學生在思想上擺脫傳統的習慣,多從反習慣、反傳統、反常規思路上考慮問題,要提倡做題時,能標新立異、獨辟蹊徑、推陳出新,這些都有助于提高學生思維的創新能力。
(6)學會檢驗,培養思維的批判性
思維的批判性是指思考問題時,不受別人暗示的影響,能嚴格而客觀地評價、檢驗思維的結果的思維品質。
在數學教學中,教師不僅要教給學生能解出結果,而且要讓他們知道來龍去脈,并教給他們要用各種方式進行檢驗,要檢驗自己的結論是否正確、是否符合題意,去偽存真,能夠及時找到問題所在,并自行改正,養成檢驗的好習慣。
另外教師在數學教學中,還要針對學生容易出錯的地方,講一些錯例辨析題,通過這類型題的比較,讓學生發現問題所在,提高他們的辨誤水平,避免再犯同樣的錯誤。
告訴學生,凡事要自己去思考,不要盲從、不要迷信,有批判地接受,要敢于和善于發現問題,這對提高他們思維的批判性是有益處的。
對學生數學思維品質的培養,是數學教學的一項重要任務,它不是一朝一夕的事,數學教師要在傳授知識的同時,注意對學生思維品質的培養,提高學生的思維能力,教師要大膽改革教學,提高學生的數學素質。
(7)突出情感教育,激發思維的積極性
①激發學習興趣。
我國數學家王梓坤院士教導我們:“數學教師的職責之一就在于培養學生對數學的興趣,這等于給了他們長久鉆研數學的動力,優秀的數學教師之所以在學生中永志不忘,就是由于他點燃了學生心靈中熱愛數學的熊熊火焰。
”因此,教師可以利用創設問題情境,利用教學認知矛盾,揭示新舊知識的聯系,以數學知識本身的魅力與內在美,用直觀的演示實驗、精彩的導言來激發學生的學習興趣。
②根據學生的個體差異,進行差異教學。
研究表明,學生的數學思維能力表現出明顯的個體差異。
因此,教師對優等生要發揮其特長,指出其問題,更上一層樓;對中等生要激發其上進心,創造條件,促使其進步;對差生要熱情關心,找出其癥結,并采取個別指導的形式,幫助其克服困難,樹立信心。
總之,教學要面向全體學生,調動每個學生的積極性,讓每個學生都在原有的基礎上得到充分發展。
(8)注重數學語言教學,提高思維精度
語言是思維的載體,思維需要用語言或文字表述。
著名科學家愛因斯坦認為:“一個人的發展和他形成概念的方法很大程度上是取決于語言。
”數學語言是進行數學思維和數學交流的工具。
數學語言水平的高低,在一定程度上影響著數學思維的發展。
所以,在數學教學中要充分認識數學語言對思維活動的影響,注重數學語言教學,培養學生用數學語言進行思維的習慣,發展學生的思維能力。
在教學中應注意:
①從規范書寫與正確表達做起。
如果老師對數學概念、術語理解不深刻,語言表達不準確、不規范,甚至出現科學性錯誤,或者書寫格式不合邏輯,出錯題或做錯解,對學生的影響是難以估量的。
因此,老師在課堂教學要做到語言規范,言必有序,言必有理,言必有據。
所有言語要合乎一般語法法則和邏輯要求,概念教學要準確到位,清晰明了,推理分析要條理清楚、層次分明。
②鼓勵數學交流。
在課堂教學中,盡可能多地讓學生說,如同位相商、小組討論、集體討論、自由議論、自己對自己說、質疑問難、全班評議等。
通過交流,可以使學生的思想清晰活躍,思路明確開闊,因果分明,邏輯清楚。
(9)創設情境問題,提供思維空間
①鋪墊型情境。
教師可以以符合學生認知水平的、富有啟發性的、常規問題或已知的數學事實為素材,創設鋪墊型情境。
通過由淺入深、由此及彼、由正及反等不同的方式,不同層次的聯想,變化發展出不同的新問題,從而為各種層次的學生提供廣闊的思維空間,這對培養學生思維的開放性和合理推理能力有重要作用。
②認知沖突型情境。
教師可以以富有挑戰性、探究性,且處于學生認知結構的最近發展區的非常規問題為素材,創設認知沖突性情境,引起學生的認知沖突,激起學生強烈的探究欲望和學習動機。
要讓學生從解決面臨的情境問題出發,不斷地分解、轉化問題,提出新的有關問題,并通過新問題的解決,最終使情境問題獲得解決。
③思維策略型情境。
教師可以以思維策略多樣、解題方法典型、解題過程能體現某種完整的數學思想方法的問題作為素材,創設思維策略性情境。
當學生的思維受阻后,教師可以從不同角度、不同的層次引導學生進行辯證分析,使學生獲得不同程度的啟發,從而使他們產生不同的解法。
同時,教師還可以引導學生對解法或策略進行適用性研究,拓展其使用范圍。
這對克服思維定勢等原因產生的消極影響,拓展思維的深度和廣度,優化思維品質,培養思維的靈活性和創造性具有重要作用。
④試誤型情境。
學生在理解、應用數學知識和方法的過程中,常因各種原因,犯一些似是而非的錯誤,教師如果能從中選擇素材,就可創設試誤型情境,借此為學生嘗試錯誤提供時間與空間,并通過反思錯誤的原因,提出批駁型問題,加深學生對知識、方法的理解和掌握,提高他們對錯誤的認識與警戒,培養他們思維的批判性和嚴謹性。
這不僅能激發學生飽滿的學習熱情,促使他們以積極的態度、旺盛的精力主動探索,而且能使他們在情境中沉思、在情境中受感染、在情境中領悟。
(10)引導學生反思,挖掘思維潛力
數學研究本身就是一個不斷反思的過程,反思推進了數學的進步。
在數學學習中,反思是一種積極的探究行為,是促進知識同化遷移的可靠途徑;反思可以溝通新舊知識間的聯系,深化對知識的理解;反思能促使學生從不同方面多角度觀察事物,質疑問題,有利于創新思維和創造能力的培養。
良好的反思能力的形成必將使學生的思維能力得到大大地提升。
因此,在教學中,應緊密結合學生的認知活動,適時引導學生進行反思。
①聽課反思。
在聽課過程中,要指導學生學會反思這節課的主要內容與特點、學習的目標、教師思考問題的方法、自己對知識的理解程度,并可要求學生注意捕捉引起反思的問題或提出具有反思性的見解。
②解題反思。
這是在解題過程中,反思求解數學問題的思維模式,它通過對問題解答的結論的正確性進行檢驗或提出疑問、能否將問題進行變式或把當前問題推廣到一般情況等問題的追問,使學生對自己思維方式進行有針對性的反思、調控,從而選擇最佳解題策略。
③學習習慣反思。
指導學生經常反思自己對數學的興趣、學習信心和能力、學習的態度與情緒、存在的薄弱環節等,學會及時調整自己,改正不良習慣,積極向上,通過引導學生反思使學生的思維能力得到有效的培養和開發。
(11)完善認識結構,優化思維品質
知識是思維的基礎,沒有一定的知識積累,思維過程就無法進行。
學生只有掌握了科學的符合邏輯結構的規律性的知識,才能通過運用這些知識作為分析、綜合、判斷、推理的基礎,實現知識的遷移。
因此,要特別重視數學基本概念、基本原理的教學,不僅要講清每一章節的知識結構,同時,還要注意各學科間知識的橫向聯系。
學生的知識結構越完整,思維的依據就越充分,思維過程就越容易進行。
①注重數學知識的整體性。
數學是一門結構化的學科,數學各個分支、各章節內容之間是互相滲透、相互蘊含的,數學知識是充滿關系的有機整體。
在平時的教學中,既要注意知識面之間的縱向聯系,把孤立的知識組成知識鏈,又要注意知識之間的橫向聯系,把知識鏈進一步組成知識網,使學生在頭腦里形成一個經緯交織、融會貫通的知識網絡,以利于塑造學生良好的認知結構,培養學習的遷移能力,進而從不同角度激活思維的靈活性、獨創性。
②揭示知識形成的過程。
知識形成過程是構建知識結構的物質基礎。
首先,要強調揭示知識發生的過程,因為概念的概括與判斷及推理過程包含著極豐富的推理方法、思想方法和思維方法,它們是知識結構中的活躍元素。
要注意充分地揭示概念提出的背景,引導學生去探索概念的抽象、概括的過程,揭示概念形成的條件和發生過程。
其次,要強調知識的發展、深化過程,這是知識形成過程最關鍵的一環,是數學教學過程的主干。
要在學生頭腦中織成知識的經緯和網絡,壘砌知識的框架與結構。
再次,要著眼于知識應用的過程。
因為只有在知識的應用過程中,學生才能更深入地了解知識之間的內在聯系,才能悟出帶有觀念性的數學思考,才能有效地從整體上認識數學。
實踐表明,這樣做不僅能夠利于學生對概念的記憶、理解和掌握,而且能夠鍛煉學生善于透過紛繁復雜的表面現象去發現問題的實質,揭示事物的內在聯系的能力,從而培養學生思維的深刻性。
③提煉數學思想方法。
數學思想方法形成于數學知識結構的建立和數學問題的解決過程中,它具有極高的概括性和包容性。
學生一旦掌握它,就能觸類旁通,并形成創新能力。
因此,數學教學要注重數學思想方法的提煉。
(12)構建數學模式,發展思維能力
數學是研究“量化模式”的科學。
數學是充滿模式的,法則是模式,一個確定的數學關系是一個模式,算法、規范式也是一個模式。
在教學中引導學生構建解題模式,不但可以向學生展示一些典型問題的解決過程,而且向學生提供了大量的“已知的、熟悉的、能解的問題”,為化歸思想提供了若干重要的升降基地,成為解決新問題時的新的憑借與依托。
因此,建構模式、認識模式、欣賞模式、理解和記憶模式、強化和應用模式,無論對于鞏固與應用學生已學的數學知識,還是對培養學生的數學技能都有著不可替代的作用。
加強數學模式的教學是信息化社會對數學教育提出的新的要求,它能幫助學生從眾多信息中篩選有用的關鍵信息,提高分析問題的能力。
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