數學思維訓練匯編

　　《學而思培優·數學思維訓練匯編:小學奧數5年級(視頻講解)》以各杯賽出題方向為依據，按照奧數學習的模塊分計算、計數、應用題、行程問題、幾何、數論、組合七個大專題，共三十六講編寫。

　　題目皆選自全國各大杯賽試題，題型全面，包含所有小學年級奧數知識點，且題目分類詳盡;題目難易程度按星級由簡至難排布，且有詳盡的答案解析。

　　本書針對小學思維訓練拓展。

　　為什么競賽選手走向社會之后會有這么多的成功者?我想原因主要有以下三點:

　　一是數學解題對學生思維能力的訓練是任何其他學科所不能比擬的。

　　雖然其他學科對于思維訓練也有很大益處，但沒有哪門學科對于學生的注意力、觀察力、邏輯思維能力、記憶力、空間想象能力的訓練像數學這樣的全面和有針對性。

　　二是數學題目和數學問題本身的難度較大，對學生的毅力和獨立思維的意志品質是一個很好的磨煉。

　　三是在學習數學的過程中尤其需要學生的自學能力。

　　數學競賽的題目范圍及難度往往略高于學校的教學大綱，對于解題思想的考查則不局限于學校的教學內容，學生為了取得新的突破，必須通過獨自鉆研，或者與同學及師長交流討論。

　　如何提高數學思維【2】

　　(1)追根究底，培養思維的深刻性

　　思維的深刻性指善于透過紛繁復雜的表面現象發現問題本質。

　　在數學教學中，對于概念中的重點字、詞，教師要進行強調，并講清它們的含義;對于數學定理、公理中的條件和結論，要徹底講清楚,要讓學生深刻地理解所學的知識，對所學的知識追根究底，透過現象看本質，抓住問題的本質所在;對于數學中相關聯的內容,要引導學生學會對比和類比，使他們通過比較，加深對所學知識的理解，同時也有助于對所學知識的記憶 。

　　(2)多角度、多層次考慮問題，培養學生思維的廣闊性

　　思維的廣闊性指善于全面地考察問題，從事物多種多樣的聯系和關系中去認識事物。

　　在數學教學中，要教育學生學會多角度、多層次、全面地思維，找到數學知識間的內在聯系。

　　我們知道數學知識間的聯系是無處不在的，如：一元二次方程、二次函數和一元二次不等式就聯系密切;二次函數中，函數值為零就變成了一元二次方程;函數值大于或小于零時，就是一元二次不等式，找到知識間的聯系后，就能很快地利用二次函數的圖象，解一元二次不等式。

　　在數學教學中不僅要把握數學問題的整體，而且要抓住它的基本特征和特殊因素，找到問題的突破口，從而解決數學問題，這樣有利于培養學生思維的廣闊性。

　　(3)活學活用，培養思維的靈活性

　　思維的靈活性是指能夠根據客觀條件的發展和變化及時地改變方法，尋找新的解決問題的途徑。

　　在數學教學中，教師要讓學生在掌握所學知識的同時，還要注意教授學生一些數學的基本思維和方法，如：化歸的思維方法、轉化的思維方法、比較的方法、形與數互相結合和轉化的思維方法，以及在解題時經常用到的分析法和綜合法等等，幫助學生在解題時，尋找問題的突破口，抓住問題實質，提高分析問題、解決問題的能力。

　　對于數學中的公式，要讓學生知道公式的正用、逆用、變用、活用、巧用及綜合運用，能靈活地運用公式，解答數學題。

　　教師要鼓勵學生用非常規的方法去解題，大膽嘗試，這都有利于培養學生思維的靈活性，要克服思維的呆板，避免循規蹈矩，提高應變能力。

　　(4)多練精練，培養思維的敏捷性

　　思維的敏捷性是指思維過程的簡縮性和快速性。

　　數學教學中，做題是必不可少的一個重要環節，只有做一定量的題，才能掌握數學知識。

　　教師在教學中，可以通過適當的練習，讓學生掌握所學的知識，熟悉所學的公式，學會解題的方法和技巧,能迅速從題中抓住本質，找到解題的關鍵。

　　練習題要精選，既要達到鞏固所學知識的目的，又要避免同一類型的題大量地重復做，只有這樣才能做到在解題時，正確地、敏捷地解出答案。

　　(5)鼓勵發散思維,培養思維的創造性

　　思維的創造性是指獨立思考創造出有社會(或個人) 價值的具有新穎性成分的成果的智力品質。

　　創造性思維是創造力的核心。

　　心理學家吉爾福特認為智力結構中的每一種能力都與創新有關，但發散思維與創新的關系最為密切。

　　發散思維是一種開放性的思維。

　　在數學教學中,要啟發學生多思考、多提問。

　　勤思善問是創新思維的開始，教師應當允許學生有不同的看法和新見解，對于學生的探索精神以及獨到的、新穎的解題方法或解題思路，教師要給予肯定和鼓勵。

　　在平時的例題講解中，采用題型發散、解法發散、縱橫發散、變更命題發散、轉化發散、遷移發散等多種形式，對學生進行多思、多變、多解的解題輔導，使他們思考問題時，注重多途徑、多方案，解決問題時注重舉一反三，觸類旁通，這對于培養學生思維的創造性至關重要。

　　要讓學生在思想上擺脫傳統的習慣，多從反習慣、反傳統、反常規思路上考慮問題，要提倡做題時，能標新立異、獨辟蹊徑、推陳出新，這些都有助于提高學生思維的創新能力。

　　(6)學會檢驗，培養思維的批判性

　　思維的批判性是指思考問題時，不受別人暗示的影響，能嚴格而客觀地評價、檢驗思維的結果的思維品質。

　　在數學教學中，教師不僅要教給學生能解出結果，而且要讓他們知道來龍去脈，并教給他們要用各種方式進行檢驗，要檢驗自己的結論是否正確、是否符合題意，去偽存真，能夠及時找到問題所在，并自行改正，養成檢驗的好習慣。

　　另外教師在數學教學中,還要針對學生容易出錯的地方，講一些錯例辨析題，通過這類型題的比較，讓學生發現問題所在，提高他們的辨誤水平，避免再犯同樣的錯誤。

　　告訴學生，凡事要自己去思考，不要盲從、不要迷信，有批判地接受，要敢于和善于發現問題，這對提高他們思維的批判性是有益處的。

　　對學生數學思維品質的培養，是數學教學的一項重要任務，它不是一朝一夕的事，數學教師要在傳授知識的同時，注意對學生思維品質的培養，提高學生的思維能力，教師要大膽改革教學，提高學生的數學素質。

　　(7)突出情感教育，激發思維的積極性

　　①激發學習興趣。

　　我國數學家王梓坤院士教導我們：“數學教師的職責之一就在于培養學生對數學的興趣，這等于給了他們長久鉆研數學的動力，優秀的數學教師之所以在學生中永志不忘，就是由于他點燃了學生心靈中熱愛數學的熊熊火焰。

　　”因此，教師可以利用創設問題情境，利用教學認知矛盾，揭示新舊知識的聯系，以數學知識本身的魅力與內在美，用直觀的演示實驗、精彩的導言來激發學生的學習興趣。

　　②根據學生的個體差異，進行差異教學。

　　研究表明，學生的數學思維能力表現出明顯的個體差異。

　　因此，教師對優等生要發揮其特長，指出其問題，更上一層樓;對中等生要激發其上進心，創造條件，促使其進步;對差生要熱情關心，找出其癥結，并采取個別指導的形式，幫助其克服困難，樹立信心。

　　總之，教學要面向全體學生，調動每個學生的積極性，讓每個學生都在原有的基礎上得到充分發展。

　　(8)注重數學語言教學，提高思維精度

　　語言是思維的載體，思維需要用語言或文字表述。

　　著名科學家愛因斯坦認為：“一個人的發展和他形成概念的方法很大程度上是取決于語言。

　　”數學語言是進行數學思維和數學交流的工具。

　　數學語言水平的高低，在一定程度上影響著數學思維的發展。

　　所以，在數學教學中要充分認識數學語言對思維活動的影響，注重數學語言教學，培養學生用數學語言進行思維的習慣，發展學生的思維能力。

　　在教學中應注意：

　　①從規范書寫與正確表達做起。

　　如果老師對數學概念、術語理解不深刻，語言表達不準確、不規范，甚至出現科學性錯誤，或者書寫格式不合邏輯，出錯題或做錯解，對學生的影響是難以估量的。

　　因此，老師在課堂教學要做到語言規范，言必有序，言必有理，言必有據。

　　所有言語要合乎一般語法法則和邏輯要求，概念教學要準確到位，清晰明了，推理分析要條理清楚、層次分明。

　　②鼓勵數學交流。

　　在課堂教學中，盡可能多地讓學生說，如同位相商、小組討論、集體討論、自由議論、自己對自己說、質疑問難、全班評議等。

　　通過交流，可以使學生的思想清晰活躍，思路明確開闊，因果分明，邏輯清楚。

　　(9)創設情境問題，提供思維空間

　　①鋪墊型情境。

　　教師可以以符合學生認知水平的、富有啟發性的、常規問題或已知的數學事實為素材，創設鋪墊型情境。

　　通過由淺入深、由此及彼、由正及反等不同的方式，不同層次的聯想，變化發展出不同的新問題，從而為各種層次的學生提供廣闊的思維空間，這對培養學生思維的開放性和合理推理能力有重要作用。

　　②認知沖突型情境。

　　教師可以以富有挑戰性、探究性，且處于學生認知結構的最近發展區的非常規問題為素材，創設認知沖突性情境，引起學生的認知沖突，激起學生強烈的探究欲望和學習動機。

　　要讓學生從解決面臨的情境問題出發，不斷地分解、轉化問題，提出新的有關問題，并通過新問題的解決，最終使情境問題獲得解決。

　　③思維策略型情境。

　　教師可以以思維策略多樣、解題方法典型、解題過程能體現某種完整的數學思想方法的問題作為素材，創設思維策略性情境。

　　當學生的思維受阻后，教師可以從不同角度、不同的層次引導學生進行辯證分析，使學生獲得不同程度的啟發，從而使他們產生不同的解法。

　　同時，教師還可以引導學生對解法或策略進行適用性研究，拓展其使用范圍。

　　這對克服思維定勢等原因產生的消極影響，拓展思維的深度和廣度，優化思維品質，培養思維的靈活性和創造性具有重要作用。

　　④試誤型情境。

　　學生在理解、應用數學知識和方法的過程中，常因各種原因，犯一些似是而非的錯誤，教師如果能從中選擇素材，就可創設試誤型情境，借此為學生嘗試錯誤提供時間與空間，并通過反思錯誤的原因，提出批駁型問題，加深學生對知識、方法的理解和掌握，提高他們對錯誤的認識與警戒，培養他們思維的批判性和嚴謹性。

　　這不僅能激發學生飽滿的學習熱情，促使他們以積極的態度、旺盛的精力主動探索，而且能使他們在情境中沉思、在情境中受感染、在情境中領悟。

　　(10)引導學生反思，挖掘思維潛力

　　數學研究本身就是一個不斷反思的過程，反思推進了數學的進步。

　　在數學學習中，反思是一種積極的探究行為，是促進知識同化遷移的可靠途徑;反思可以溝通新舊知識間的聯系，深化對知識的理解;反思能促使學生從不同方面多角度觀察事物，質疑問題，有利于創新思維和創造能力的培養。

　　良好的反思能力的形成必將使學生的思維能力得到大大地提升。

　　因此，在教學中，應緊密結合學生的認知活動，適時引導學生進行反思。

　　①聽課反思。

　　在聽課過程中，要指導學生學會反思這節課的主要內容與特點、學習的目標、教師思考問題的方法、自己對知識的理解程度，并可要求學生注意捕捉引起反思的問題或提出具有反思性的見解。

　　②解題反思。

　　這是在解題過程中，反思求解數學問題的思維模式，它通過對問題解答的結論的正確性進行檢驗或提出疑問、能否將問題進行變式或把當前問題推廣到一般情況等問題的追問，使學生對自己思維方式進行有針對性的反思、調控，從而選擇最佳解題策略。

　　③學習習慣反思。

　　指導學生經常反思自己對數學的興趣、學習信心和能力、學習的態度與情緒、存在的薄弱環節等，學會及時調整自己，改正不良習慣，積極向上，通過引導學生反思使學生的思維能力得到有效的培養和開發。

　　(11)完善認識結構，優化思維品質

　　知識是思維的基礎，沒有一定的知識積累，思維過程就無法進行。

　　學生只有掌握了科學的符合邏輯結構的規律性的知識，才能通過運用這些知識作為分析、綜合、判斷、推理的基礎，實現知識的遷移。

　　因此，要特別重視數學基本概念、基本原理的教學，不僅要講清每一章節的知識結構，同時，還要注意各學科間知識的橫向聯系。

　　學生的知識結構越完整，思維的依據就越充分，思維過程就越容易進行。

　　①注重數學知識的整體性。

　　數學是一門結構化的學科，數學各個分支、各章節內容之間是互相滲透、相互蘊含的，數學知識是充滿關系的有機整體。

　　在平時的教學中，既要注意知識面之間的縱向聯系，把孤立的知識組成知識鏈，又要注意知識之間的橫向聯系，把知識鏈進一步組成知識網，使學生在頭腦里形成一個經緯交織、融會貫通的知識網絡，以利于塑造學生良好的認知結構，培養學習的遷移能力，進而從不同角度激活思維的靈活性、獨創性。

　　②揭示知識形成的過程。

　　知識形成過程是構建知識結構的物質基礎。

　　首先，要強調揭示知識發生的過程，因為概念的概括與判斷及推理過程包含著極豐富的推理方法、思想方法和思維方法，它們是知識結構中的活躍元素。

　　要注意充分地揭示概念提出的背景，引導學生去探索概念的抽象、概括的過程，揭示概念形成的條件和發生過程。

　　其次，要強調知識的發展、深化過程，這是知識形成過程最關鍵的一環，是數學教學過程的主干。

　　要在學生頭腦中織成知識的經緯和網絡，壘砌知識的框架與結構。

　　再次，要著眼于知識應用的過程。

　　因為只有在知識的應用過程中，學生才能更深入地了解知識之間的內在聯系，才能悟出帶有觀念性的數學思考，才能有效地從整體上認識數學。

　　實踐表明，這樣做不僅能夠利于學生對概念的記憶、理解和掌握，而且能夠鍛煉學生善于透過紛繁復雜的表面現象去發現問題的實質，揭示事物的內在聯系的能力，從而培養學生思維的深刻性。

　　③提煉數學思想方法。

　　數學思想方法形成于數學知識結構的建立和數學問題的解決過程中，它具有極高的概括性和包容性。

　　學生一旦掌握它，就能觸類旁通，并形成創新能力。

　　因此，數學教學要注重數學思想方法的提煉。

　　(12)構建數學模式，發展思維能力

　　數學是研究“量化模式”的科學。

　　數學是充滿模式的，法則是模式，一個確定的數學關系是一個模式，算法、規范式也是一個模式。

　　在教學中引導學生構建解題模式，不但可以向學生展示一些典型問題的解決過程，而且向學生提供了大量的“已知的、熟悉的、能解的問題”，為化歸思想提供了若干重要的升降基地，成為解決新問題時的新的憑借與依托。

　　因此，建構模式、認識模式、欣賞模式、理解和記憶模式、強化和應用模式，無論對于鞏固與應用學生已學的數學知識，還是對培養學生的數學技能都有著不可替代的作用。

　　加強數學模式的教學是信息化社會對數學教育提出的新的要求，它能幫助學生從眾多信息中篩選有用的關鍵信息，提高分析問題的能力。

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