高中導數題型總結

　　總結是對過去一定時期的工作、學習或思想情況進行回顧、分析，并做出客觀評價的書面材料，通過它可以全面地、系統地了解以往的學習和工作情況，讓我們抽出時間寫寫總結吧。那么你知道總結如何寫嗎？下面是小編幫大家整理的高中導數題型總結，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

　　首先，關于二次函數的不等式恒成立的主要解法。

　　最后，同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎

　　一、基礎題型：函數的單調區間、極值、最值;不等式恒成立;

　　1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：

　　第一步：令得到兩個根;

　　第二步：畫兩圖或列表;

　　第三步：由圖表可知;

　　其中不等式恒成立問題的實質是函數的最值問題，

　　2、常見處理方法有三種：

　　第一種：分離變量求最值-----用分離變量時要特別注意是否需分類討論(>0,=0,<0)

　　第二種：變更主元(即關于某字母的一次函數)-----(已知誰的范圍就把誰作為主元);

　　例1：設函數在區間D上的導數為，在區間D上的導數為，若在區間D上，恒成立，則稱函數在區間D上為“凸函數”，已知實數m是常數，

　　(1)若在區間上為“凸函數”，求m的取值范圍;

　　(2)若對滿足的任何一個實數，函數在區間上都為“凸函數”，求的最大值.

　　解:由函數得

　　(1)在區間上為“凸函數”，

　　則在區間[0,3]上恒成立

　　解法一：從二次函數的區間最值入手：等價于

　　解法二：分離變量法：

　　∵當時,恒成立,

　　當時,恒成立

　　等價于的最大值()恒成立，

　　而()是增函數，則

　　(2)∵當時在區間上都為“凸函數”

　　則等價于當時恒成立

　　變更主元法

　　再等價于在恒成立(視為關于m的一次函數最值問題)

　　請同學們參看2010第三次周考：

　　例2：設函數

　　(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值;

　　(Ⅱ)若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.

　　(二次函數區間最值的例子)

　　解：(Ⅰ)

　　令得的單調遞增區間為(a,3a)

　　令得的單調遞減區間為(-，a)和(3a，+)

　　∴當x=a時，極小值=當x=3a時，極大值=b.

　　(Ⅱ)由||≤a，得：對任意的恒成立①

　　則等價于這個二次函數的對稱軸(放縮法)

　　即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數的最值問題：單調增函數的最值問題。

　　上是增函數.(9分)

　　∴

　　于是，對任意，不等式①恒成立，等價于

　　又∴

　　點評：重視二次函數區間最值求法：對稱軸(重視單調區間)與定義域的關系

　　第三種：構造函數求最值

　　題型特征：恒成立恒成立;從而轉化為第一、二種題型

　　例3;已知函數圖象上一點處的切線斜率為，

　　(Ⅰ)求的值;

　　(Ⅱ)當時，求的值域;

　　(Ⅲ)當時，不等式恒成立，求實數t的取值范圍。

　　解：(Ⅰ)∴，解得

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減

　　又

　　∴的值域是

　　(Ⅲ)令

　　思路1：要使恒成立，只需，即分離變量

　　思路2：二次函數區間最值

　　二、題型一：已知函數在某個區間上的單調性求參數的范圍

　　解法1：轉化為在給定區間上恒成立，回歸基礎題型

　　解法2：利用子區間(即子集思想);首先求出函數的單調增或減區間，然后讓所給區間是求的增或減區間的子集;

　　做題時一定要看清楚“在(m,n)上是減函數”與“函數的單調減區間是(a,b)”，要弄清楚兩句話的區別：前者是后者的子集

　　例4：已知，函數.

　　(Ⅰ)如果函數是偶函數，求的極大值和極小值;

　　(Ⅱ)如果函數是上的單調函數，求的取值范圍.

　　解：.

　　(Ⅰ)∵是偶函數，∴.此時，，

　　令，解得：.

　　列表如下：

　　(-∞,-2)

　　-2

　　(-2,2)

　　2

　　(2,+∞)

　　+

　　0

　　-

　　0

　　+

　　遞增

　　極大值

　　遞減

　　極小值

　　遞增

　　可知：的極大值為，的極小值為.

　　(Ⅱ)∵函數是上的單調函數，

　　∴，在給定區間R上恒成立判別式法

　　則解得：.

　　綜上，的取值范圍是.

　　例5、已知函數

　　(I)求的單調區間;

　　(II)若在[0，1]上單調遞增，求a的取值范圍。子集思想

　　(I)

　　1、

　　當且僅當時取“=”號，單調遞增。

　　2、

　　單調增區間：

　　單調增區間：

　　(II)當則是上述增區間的子集：

　　1、時，單調遞增符合題意

　　2、，

　　綜上，a的取值范圍是[0，1]。

　　三、題型二：根的個數問題

　　題1函數f(x)與g(x)(或與x軸)的交點======即方程根的個數問題

　　解題步驟

　　第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”(即解導數不等式)和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”;

　　第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式(組);主要看極大值和極小值與0的關系;

　　第三步：解不等式(組)即可;

　　例6、已知函數，，且在區間上為增函數.

　　求實數的取值范圍;

　　若函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍.

　　解：(1)由題意∵在區間上為增函數，

　　∴在區間上恒成立(分離變量法)

　　即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為

　　(2)設，

　　令得或由(1)知，

　　①當時，，在R上遞增，顯然不合題意…

　　②當時，，隨的變化情況如下表：

　　—

　　↗

　　極大值

　　↘

　　極小值

　　↗

　　由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即∴，解得

　　綜上，所求的取值范圍為

　　根的個數知道，部分根可求或已知。

　　例7、已知函數

　　(1)若是的極值點且的圖像過原點，求的極值;

　　(2)若，在(1)的條件下，是否存在實數，使得函數的圖像與函數的圖像恒有含的三個不同交點?若存在，求出實數的取值范圍;否則說明理由。

　　解：(1)∵的圖像過原點，則，

　　又∵是的極值點，則

　　(2)設函數的圖像與函數的圖像恒存在含的三個不同交點，

　　等價于有含的三個根，即：

　　整理得：

　　即：恒有含的三個不等實根

　　(計算難點來了：)有含的根，

　　則必可分解為，故用添項配湊法因式分解，

　　十字相乘法分解：

　　恒有含的三個不等實根

　　等價于有兩個不等于-1的不等實根。

　　題2：切線的條數問題====以切點為未知數的方程的根的個數

　　例7、已知函數在點處取得極小值-4，使其導數的的取值范圍為，求：(1)的解析式;(2)若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍.

　　(1)由題意得：

　　∴在上;在上;在上

　　因此在處取得極小值

　　∴①，②，③

　　由①②③聯立得：，∴

　　(2)設切點Q，

　　過

　　令，

　　求得：，方程有三個根。

　　需：

　　故：;因此所求實數的范圍為：

　　題3：已知在給定區間上的極值點個數則有導函數=0的根的個數

　　解法：根分布或判別式法

　　例8、

　　解：函數的定義域為(Ⅰ)當m=4時，f(x)=x3-x2+10x，

　　=x2-7x+10，令，解得或.

　　令，解得

　　可知函數f(x)的單調遞增區間為和(5，+∞)，單調遞減區間為.

　　(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,

　　要使函數y=f(x)在(1，+∞)有兩個極值點,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1，+∞)

　　根分布問題：

　　則，解得m>3

　　例9、已知函數，(1)求的單調區間;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且僅有3個極值點，求a的取值范圍.

　　解：(1)

　　當時，令解得，令解得，

　　所以的遞增區間為，遞減區間為.

　　當時，同理可得的遞增區間為，遞減區間為.

　　(2)有且僅有3個極值點

　　=0有3個根，則或，

　　方程有兩個非零實根，所以

　　或

　　而當或時可證函數有且僅有3個極值點

　　其它例題：

　　1、(最值問題與主元變更法的例子).已知定義在上的函數在區間上的最大值是5，最小值是-11.

　　(Ⅰ)求函數的解析式;

　　(Ⅱ)若時，恒成立，求實數的取值范圍.

　　解：(Ⅰ)

　　令=0,得

　　因為，所以可得下表：

　　0

　　+

　　0

　　-

　　↗

　　極大

　　↘

　　因此必為最大值,∴因此，，

　　即，∴，∴

　　(Ⅱ)∵，∴等價于，

　　令，則問題就是在上恒成立時，求實數的取值范圍，

　　為此只需，即，

　　解得，所以所求實數的取值范圍是[0，1].

　　2、(根分布與線性規劃例子)

　　(1)已知函數

　　(Ⅰ)若函數在時有極值且在函數圖象上的點處的切線與直線平行,求的解析式;

　　(Ⅱ)當在取得極大值且在取得極小值時,設點所在平面區域為S,經過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分,求直線L的方程.

　　解：(Ⅰ).由,函數在時有極值,

　　∴

　　∵∴

　　又∵在處的切線與直線平行,

　　∴故

　　∴…………………….7分

　　(Ⅱ)解法一:由及在取得極大值且在取得極小值,

　　∴即令,則

　　∴∴故點所在平面區域S為如圖△ABC,

　　易得,,,,,

　　同時DE為△ABC的中位線,

　　∴所求一條直線L的方程為:

　　另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分,設直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G,則,

　　由得點F的橫坐標為:

　　由得點G的橫坐標為:

　　∴即

　　解得:或(舍去)故這時直線方程為:

　　綜上,所求直線方程為:或.…………….………….12分

　　(Ⅱ)解法二:由及在取得極大值且在取得極小值,

　　∴即令,則

　　∴∴故點所在平面區域S為如圖△ABC,

　　易得,,,,,

　　同時DE為△ABC的中位線,∴所求一條直線L的方程為:

　　另一種情況由于直線BO方程為:,設直線BO與AC交于H,

　　由得直線L與AC交點為:

　　∵,,

　　∴所求直線方程為:或

　　3、(根的個數問題)已知函數的圖象如圖所示。

　　(Ⅰ)求的值;

　　(Ⅱ)若函數的圖象在點處的切線方程為，求函數f(x)的解析式;

　　(Ⅲ)若方程有三個不同的根，求實數a的取值范圍。

　　解：由題知：

　　(Ⅰ)由圖可知函數f(x)的圖像過點(0,3)，且=0

　　得

　　(Ⅱ)依題意=–3且f(2)=5

　　解得a=1,b=–6

　　所以f(x)=x3–6x2+9x+3

　　(Ⅲ)依題意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a>0)

　　=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①

　　若方程f(x)=8a有三個不同的根，當且僅當滿足f(5)<8a

　　由①②得–25a+3<8a<7a+3

　　所以當

　　4、(根的個數問題)已知函數

　　(1)若函數在處取得極值，且，求的值及的單調區間;

　　(2)若，討論曲線與的交點個數.

　　解：(1)

　　………………………………………………………………………2分

　　令得

　　令得

　　∴的單調遞增區間為，，單調遞減區間為…………5分

　　(2)由題得

　　即

　　令……………………6分

　　令得或……………………………………………7分

　　當即時

　　-

　　此時，，，有一個交點;…………………………9分

　　當即時，

　　∴當即時,有一個交點;

　　當即時，有兩個交點;

　　當時，，有一個交點.………………………13分

　　綜上可知，當或時，有一個交點;

　　當時，有兩個交點.…………………………………14分

　　5、(簡單切線問題)已知函數圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數.

　　(Ⅰ)若函數在處有極值，求的解析式;

　　(Ⅱ)若函數在區間上為增函數，且在區間上都成立，求實數的取值范圍.

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