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數學 函數的教學教案

時間:2022-10-07 23:55:13 教案 我要投稿

數學 函數的教學教案

  數學 函數

  反函數

數學 函數的教學教案

  就關系而言,一般是雙向的 ,函數也如此 ,設y=f(x)為已知的函數,若對每個y∈Y,有唯一的x∈X,使f(x)=y,這是一個由y找x的過程 ,即x成了y的函數 ,記為x=f -1(y)。稱f -1為f的反函數。習慣上用x表示自變量 ,故這個函數仍記為y=f -1(x) ,例如 y=sinx與y=arcsinx 互為反函數。在同一坐標系中,y=f(x)與y=f -1(x)的圖形關于直線y=x對稱。

  隱函數

  若能由函數方程 F(x,y)=0 確定y為x的函數y=f(x),即F(x,f(x))≡0,就稱y是x的隱函數。

  思考:隱函數是否為函數?因為在其變化的過程中并不滿足“一對一”和“多對一”

  多元函數

  設點(x1,x2,…,xn) ∈GRn,UR1 ,若對每一點(x1,x2,…,xn)∈G,由某規則f有唯一的 u∈U與之對應:f:G→U,u=f(x1,x2,…,xn),則稱f為一個n元函數,G為定義域,U為值域。

  基本初等函數及其圖像 冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數稱為基本初等函數

  ①冪函數:y=xμ(μ≠0,μ為任意實數)定義域:μ為正整數時為(-∞,+∞),μ為負整數時是(-∞,0)∪(0,+∞);μ=(α為整數),當α是奇數時為( -∞,+∞),當α是偶數時為(0,+∞);μ=p/q,p,q互素,作為的復合函數進行討論。略圖如圖2、圖3。

  ②指數函數:y=ax(a>0 ,a≠1),定義成為( -∞,+∞),值域為(0 ,+∞),a>0 時是嚴格單調增加的函數( 即當x2>x1時,) ,0<a<1 時是嚴格單減函數。對任何a,圖像均過點(0,1),注意y=ax和y=()x的圖形關于y軸對稱。如圖4。

  ③對數函數:y=logax(a>0), 稱a為底 , 定義域為(0,+∞),值域為(-∞,+∞) 。a>1 時是嚴格單調增加的,0<a<1時是嚴格單減的。不論a為何值,對數函數的圖形均過點(1,0),對數函數與指數函數互為反函數 。如圖5。

  以10為底的對數稱為常用對數 ,簡記為lgx 。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數,即自然對數,記作lnx。

  ④三角函數:見表2。

  正弦函數、余弦函數如圖6,圖7所示。

  ⑤反三角函數:見表3。雙曲正、余弦如圖8。

  ⑥雙曲函數:雙曲正弦(ex-e-x),雙曲余弦(ex+e-x),雙曲正切(ex-e-x)/(ex+e-x) ,雙曲余切( ex+e-x)/(ex-e-x)。

  在數學領域,函數是一種關系,這種關系使一個集合里的每一個元素對應到另一個(可能相同的)集合里的唯一元素(這只是一元函數f(x)=y的情況,請按英文原文把普遍定義給出,謝謝)。函數的概念對于數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。

  術語函數,映射,對應,變換通常都是同一個意思。

  二次函數

  一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:

  y=ax^2+bx+c

  (a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)

  則稱y為x的二次函數。

  二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

  x是自變量,y是x的函數

  二次函數的三種表達式

  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)

  頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h,k)] 對于二次函數y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

  交點式:y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點A(x? ,0)和 B(x?,0)的拋物線]

  其中x1,2= -b±√b^2-4ac

  注:在3種形式的互相轉化中,有如下關系:

  h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

  二次函數的圖像

  在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像,

  可以看出,二次函數的.圖像是一條拋物線。

  拋物線的性質

  1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

  對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

  特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

  2.拋物線有一個頂點P,坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )

  當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。

  3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

  當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

  |a|越大,則拋物線的開口越小。

  4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

  當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;

  當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

  5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

  拋物線與y軸交于(0,c)

  6.拋物線與x軸交點個數

  Δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

  Δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

  一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:

  y=ax^2+bx+c

  (a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)

  則稱y為x的二次函數。

  二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

  x是自變量,y是x的函數

  二次函數的三種表達式

  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)

  頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h,k)] 對于二次函數y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

  交點式:y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點A(x? ,0)和 B(x?,0)的拋物線]

  其中x1,2= -b±√b^2-4ac

  注:在3種形式的互相轉化中,有如下關系:

  h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

  二次函數的圖像

  在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像,

  可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線。

  拋物線的性質

  1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

  對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

  特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

  2.拋物線有一個頂點P,坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )

  當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。

  3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

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