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不等式復習教學教案
教學設計
教學過程
ax2＋bx＋c＝0的根x1,2＝－b±Δ2a
例2若正數x、滿足6x＋5＝36，求x的最大值．
例3不等式axx－1＜1的解集為{x|x＜1或x＞2}，求a.
二元一次
例2某機械廠的車工分Ⅰ、Ⅱ兩個等級，各級車工每人每天加工能力、成品合格率及日工資數如下表所示：
級別加工能力(個/人天)成品合格率(%)工資(元/天)
工廠要求每天至少加工配件2 400個，車工每出一個廢品，工廠要損失2元，現有Ⅰ級車工8人，Ⅱ級車工12人，且工廠要求至少安排6名Ⅱ級車工，試問如何安排工作，使工廠每天支出的費用最少．
(萬元)到D到E到F
怎樣確定調運方案，使總的運費最少？
(設計者：鄭吉星)
備課資料
一、備用例題
【例1】 已知0＜x＜13，求函數＝x(1－3x)的最大值．
活動一：原函數式可化為＝－3x2＋x，利用二次函數求某一區間的最值．
解法一：(利用二次函數法可獲得求解)(解略)
活動二：挖掘隱含條件，∵3x＋1－3x＝1為定值，且0＜x＜13，則1－3x＞0；可用均值不等式．
解法二：∵0＜x＜13，∴1－3x＞0.∴＝x(1－3x)＝133x(1－3x)≤13(3x＋1－3x2)2＝112，當且僅當 3x＝1－3x，即x＝16時， ax＝112.
【例2】求＝sinx＋5sinx的最小值，x∈(0，π)．
錯解：∵x∈(0，π)，∴sinx＞0.∴＝sinx＋5sinx≥25.∴in＝25.
錯因：＝25的充要條件是sinx＝5sinx，即sin2x＝5，這是不存在的．
正解：∵x∈(0，π)，∴sinx＞0.又＝sinx＋5sinx＝sinx＋1sinx＋4sinx≥2＋4sinx，當且僅當sinx＝1sinx，即sinx＝1時，取“＝”．而此時4sinx也有最小值4，
∴當sinx＝1時，in＝6.
【例3】已知正數x、滿足2x＋＝1，求1x＋1的最小值．
錯解：∵1＝2x＋≥22x，∴x≤122，即1x≥22.
∴1x＋1≥21x≥222＝42，即1x＋1的最小值為42.
錯因：過程中兩次運用了均值不等式中取“＝”過渡，而這兩次取“＝”的條 件是不同的，故結果錯．
正解一：∵2x＋＝1，∴1x＋1＝(2x＋)(1x＋1)＝2＋2x＋x＋1≥3＋22，當且僅當x＝2x，即＝2x時，取“＝”．
而＝2x2x＋＝1 ?x＝12＋2，＝22＋2，即此時in＝3＋22.
正解二：∵1x＋1＝2x＋x＋2x＋＝3＋x＋2x(以下同解一)．
小結：用均值不等式求最值時，要注意檢驗最值存在的充要條件，特別地，如果多次運用均值不等式求最值，則要考慮多次“≥”(或者“≤”)中取“＝”成立的諸條件是否相容．
【例4】 已知正數x、滿足x＝x＋＋3，試求x、x＋的范圍．
解法一：由x＞0，＞0，則x＝x＋＋3 x－3＝x＋≥2x，即(x)2－2x＋3≥0.
解得x≤－1(舍去)或x≥3，當且僅當x＝且x＝x＋＋3，即x＝＝3時取“＝”，故x的取值范圍是[9，＋∞)．
又x＋＋3＝x≤(x＋2)2 (x＋)2－4(x＋)－12≥0 x＋≤－2(舍去)或x＋≥6，當且僅當x＝且x＝x＋＋3，即x＝＝3時取“＝”，故x＋的取值范圍是 [6，＋∞)．
解法二：由x＞0，＞0，x＝x＋＋3? (x－1)＝x＋3，知x≠1，則＝x＋3x－1.
由＞0? x＋3x－1＞0? x＞1，則
x＝xx＋3x－1＝x2＋3xx－1＝x－12＋5x－1＋4x－1＝(x－1)＋4x－1＋5≥2x－14x－1＋5＝9，當且僅當x－1＝4x－1(x＞0)，即x＝3，并求得＝3時取“＝”，故x的取值范圍是[9，＋∞)．
x＋＝x＋x＋3x－1＝x＋x－1＋4x－1＝x＋4x－1＋1＝(x－1)＋4x－1＋2
≥2x－14x－1＋2＝6.
當且僅當x－1＝4x－1(x＞0)，即x＝3，并求得＝3時取“＝”，故x＋的取值范圍是[6，＋∞)．
點評：解法一具有普遍性，而且簡潔實用，易于掌握，解法二要求掌握構造的技巧．
總之，利用均值不等式求最值的方法多樣，而且變化多端，要掌握常見的變形技巧，掌握常見題型的求解方法，加強訓練、多多體會，才能達到舉一反三的目的．
【例5】 用一塊鋼錠澆鑄一個厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖)，設容器高為h米，蓋子邊長為a米，
(1)求a關于h的解析式；
(2)設容器的容積為V立方米，則當h為何值時，V最大？求出V的最大值(求解本題時，不計容器厚度)．
解：(1)設h′是正四棱錐的斜高，由題設可得
a2＋412h′a＝2，h2＋14a2＝h′2，消去h′，解得a＝1h2＋1(a＞0)．
(2)由V＝13a2h＝h3h2＋1(h＞0)，
得V＝13h＋1h，而h＋1h≥2h1h＝2.
所以V≤16，當且僅當h＝1h，即h＝1時取等號；
故當h＝1米時，V有最大值，V的最大值為16立方米．
二、不等式的證明方法探究
1．配方法
把一個不是完全平方形式的多項式中的某些項配成完全平方，然后利用一個實數的平方是非負的這個特殊的性質來證明某些式子是大于或等于零的．
2．判別式法
通過對所證不等式的觀察、分析，構造出二次方程，然后利用二次方程的判別式，從而使不等式得證．
3．比較法
為了證明A＞B，可轉化為證明 A－B＞0，或者當B＞0時轉化為證 明AB＞1.
4．放縮法
為了證明A＜B，可設法證明A＜C，且C＜B.有時也可考慮證明加強命題．
5．數學歸納法
常用來證明與正整數有關的命題．
6．構造法
構造適當的圖形，使要證的命題比較直觀地反映出來．
7．輔助函數法
函數是數學中的一個重要內容，它與不等式有密切的聯系．
通過構造輔助函數，然后利用函數的有關性質去證明該不等式．通常我們可以利用以下一些函數的性質：
(1)函數＝ax2＋bx＋c，若a＞0，則≥0?Δ≤0；(2)三角函數的有界性；(3)函數的單調性；(4)函數的凸性；(5)函數的導數．
8．換元法
通過添設輔助元素，使原來不等式變成與新的變量有關的不等式．
應用換元法，可把字母多化成字母少，可把紊亂的不等式化成簡單的、條理清晰的不等式．
常用的換元方法有三角換元和均值換元．
(1)三角換元
x2＋2＝r2(r＞0) x＝rcsα，＝rsinα(0≤α＜2π)；x2＋2≤a2 x＝rcsα，＝rsinα(0≤α＜2π，r≤|a|)；x2－2＝r2(r＞0) x＝rsecα，＝rtanα(0≤α＜2π)．
(2)均值換元
x＋＝a x＝a2－ε，＝a2＋ε；x＋＋z＝a x＝a3＋α，＝a3＋β，α＋β＋γ＝0.z＝a3＋γ
另外，在證明的過程中還經常使用整體換元，即用一個變量代替一個整式．
9．逐步調整法
在證明不等式的過程中，對某一個函數式的某些變元進行調整(變大或變小)，觀察其值的變化，從中發現函數式的最值．
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