計量經濟模型參數估計方法論文

　　摘要：計量經濟模型的參數估計是實證經濟分析的關鍵，其在建模技術中處于核心的地位。估計模型參數屬于統計學中的參數估計內容。常用的估計方法主要包括最小二剩法、極大似然估計法、矩估計法和貝葉斯估計法等。而這些方法的應用，取決于計算機及其軟件的編程。利用 R 軟件可以很容易的實現對模型參數的估計，不論是線性模型，還是非線性模型，主要使用 lm、glm 和 nls等幾個命令函數來實現。

　　關鍵詞：經濟建模；參數估計；經濟參數；R的使用。

　　一位朋友獲得到了一筆意想不到的獎金，于是計劃著買一件觀注已久的名貴消費品。而同事同樣也得到了一筆工資之外的收入，他卻將這筆錢用于了投資。用經濟學的術語就是前者的消費傾向很高，而后者的消費傾向較低。然而一個地區的消費傾向，應該是該地所有居住者的平均消費傾向。它往往反映著該地區的生活水平和經濟發達的程度，是人們比較關心的話題。

　　這類信息又不可能直接調查獲得，因為哪些收入是新增的，以及個人之間的傾向差異較大，抽樣的代表性很難保證。所以此類信息的獲得主要是通過模型測算的，即以觀測得到的消費為被解釋變量，收入為解釋變量來構建回歸方程，其回歸系數就是收入的邊際消費傾向。在經濟模型的各構成要件中，參數是用來表述具體經濟關系的重要因素，如消費傾向就是收入決定消費模型中最重要的經濟參數。在現實的經濟觀察中，人們較易觀測到收入和消費支出的數據，卻很難直接觀測到消費傾向的數據，因此我們通過建模來推算。而這種對模型參數進行推算的過程，常被稱為模型的估算。

　　一、經濟參數估計及主要方法。

　　經濟模型是用來描繪經濟關系方程式或方程組，在經濟模型中的各種變量是我們看得到的經濟現實，模型中的每一個方程都表述著各變量之間的經濟關聯。而變量之間精確關系的規律性反映，主要是由模型中伴隨著變量存在的參數來承擔的。既然是規律性的東西，就是固定不變的。所以建立模型的過程也就是通過變量和方程式的變化觀察，來尋找不變的經濟參數的過程。為此采用統計回歸的方法來探求模型參數的作法最為常見，即依據人們已有的經驗或理論成果設定出回歸方程的形式，結合一定數量的統計觀察來估算出回歸方程的具體參數的過程。這種估算的具體方法，主要有如下幾種：

　　1、最小二乘估計法。

　　在給定一組樣本觀測值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）前提下，即我們能夠看到經濟現象 X（如收入等影響因素，X可以是一個變量構成的向量，也可以是由多個變量構成的矩陣）和 Y（如消費等被影響因素）的變化過程。且初步認定兩者關系的回歸方程為Y贊i=（fB,Xi）時，其中Y贊i是被解釋變量 Yi的回歸擬合值，該方程表明 Yi的變化取決于 Xi的作用，其作用程度就是穩定的 B值（B 為列向量）。要得到該理想的回歸方程，就要選擇一系列適合的 B 值，以使實際的 Yi與回歸測算的Y贊i之間的差距（即殘差）達到最小。由于數值殘差有正負之分，即使差距很大時也能保證殘差之和為零，這樣依據殘差的分析很難得到控制殘差的目的。而將各殘差的平方和達到最小的約束控制，卻具有唯一性的特點，是求解控制參數的理想目標。這種以樣本觀察值與回歸估計值之差的平方和達到最小約束的參數求解方法，就叫做最小二乘法。其一般表達式為：

　　這種以殘差 ei的平方和達到最小為目標的求得 B中各元素 bk的常規作法，就是將 B 向量中的各個元素bk都看作是變量，而將 X 和 Y 看作是常量，求多項式∑[Yi- （fB,Xi）]^2關于 bk的偏導數式并令其為零，從而可以形成一個由參數個數決定方程個數的方程組，而該方程組的解就是回歸方程的經濟參數解。

　　2、極大似然估計法。

　　極大似然估計方法也是依靠樣本的信息，對總體的參數進行估計的常規方法。只是它適合于總體概率分布的類型已知，但分布的具體參數未知時使用。它是以我們得到的樣本在現實中出現的概率達到最大為依據進行的參數估計，即樣本各單位同時出現的似然函數達到最大時的參數為估計的結果。

　　與最小二乘估計相比，它的約束條件不是樣本的殘差最小，而是樣本產生的概率最大。其基本原理就是將 n 組數據構成的樣本觀察值中的每一組 X 和 Y 都分別代入到回歸方程中，并將這 n 個方程式視為同時發生事件，即以各個方程發生的概率函數的連乘積來構建該樣本發生的概率函數，并稱之為似然函數。而極大似然估計法就是以該似然函數取極大值為約束來求解經濟參數的。

　　當總體的概率分布已知時，才能使用極大似然估計。即不同的概率分布，似然估計的結果會有很大的差異。由于在模型估算中人們對總體方程的概率分布往往是未知的，應用極大似然估計受到了一定的限制。不過依據概率論中的中心極限定理，大樣本下一般的總體都服從正態分布。所以依據正態分布的估算也很常見，即人們經常假定總體分布是正態的，并在該假設前提下應用極大似然估計方法。具體步驟如下：首先，利用總體的概率分布函數 n 維乘積得到似然函數；其次，將似然函數中的自變量看作是常量，而將參數看作是自變量，先對其求導數，并令該導數為零，求得使似然函數最大的估計量；最后，將樣本數據代入到似然估計量的計算式中，得到極大似然法的參數估計值。

　　3、廣義矩估計法。

　　矩函數是統計學中常用的指標函數，即變量值的 k次乘方的平均值就叫 k 階原點矩。而變量與其均值的離差的 k 次乘方的平均值，就叫 k 階中心矩。矩函數則是將原點矩、中心矩、相關系數、回歸系數等一系列特殊統計指標，以一個統一的一般形式表達的函數。矩估計方法是統計估計的常用方法，其基本思想就是以樣本的矩函數來代表總體矩函數的過程。由于回歸方程的估計是為了使殘差達到最小的估計過程，所以借助于這一思想，對各回歸系數的估算考慮如下：

　　首先，關于回歸方程誤差的矩函數可以表述為ε=Y- Xβ，該誤差列向量實質上是在 X 給定的條件下，各組觀察值偏離回歸值的程度，即以總體回歸方程為中心的實際偏離。而該離差的期望值就是在 X 給定條件下的總體一階中心矩，隨著 X 的條件不同，以該距離為核心的函數表達式就是一階中心矩函數。

　　其次，以樣本的參數估計量代替總體參數，并形成樣本的矩函數，有∑ei=i（‘Y- XB）=0,根據該方程組可以求解出各參數的估計值 B,但是該方程組存在著能否識別的問題。在方程的個數等于未知參數的個數時，有可能求解，或稱之謂恰好識別。但是矩估計是依據大數定律進行的，它要求對總體觀察的樣本數量要盡可能大。而在大樣本時，即樣本容量為 n 組觀察值，則可以建立 n 個方程。即當 n≥K+1 時，方程組常是過度識別的。解決這種過度識別的方法就是將各組數據都參與各參數的估算，只是估算的結果以 X 為權重進行加權平均。該過程就是將上式中的單位向量 i,換為矩陣 X的簡單過程。即 X'Y- X'XB=0,所以就有了 X'Y=X'XB.在 X為確定的變量觀察值時，線性回歸方程的參數估算公式將為 B=（X'X）- 1X'Y.人們將這種過度識別的，并采取加權方式進行估計的過程稱之謂廣義矩估計。

　　4、貝葉斯估計法。

　　概率論中著名的貝葉斯分式，也叫后驗概率公式。它所描述的是通過對現實樣本信息的觀察，來修正對該事物的先前認知。在經濟研究中，研究者對研究對象都有初步的認識。這類樣本之外的信息，在上述的各種估計方法中都被忽略了。從信息充分利用的原則出發，在考慮先前信息的條件下，通過樣本信息的修正，來測算研究對象的真實概率分布。有了真實的概率分布，才能得到準確的參數估計。這就是貝葉斯估計的基本特點，它較其他方法更接近現實，利用的信息更系統。

　　二、模型估計量的質量評價。

　　采用不同的方法對方程求解所估算的結果常有不同，因此需要一定的標準來評價各種方法的科學性，高斯和馬爾科夫的研究認為具有線性、無偏性、有效性的估算方法是最佳的。在放寬條件時，達到一致性的要求也就是較好的估計了。其具體含義如下：

　　1、線性。

　　線性是指估計量 B 與研究對象 Y 是線性的關系，它表明在解釋變量確定時，經濟參數的改變會引起被解釋變量的確定性改變。

　　2、無偏性。

　　無偏性是指經濟參數估計的均值或期望值是否等于總體的真實值，即對于參數的估計量有 E（B）=β。

　　3、有效性。

　　在所有的無偏估計中，方差最小者為有效，即對于任意的無偏估計量 G 與有效的無偏估計量 B 必有 Var（G）≥Va（rB），即 B較任意的G更具有效性。

　　4、大樣本下的一致性。

　　一致性是指樣本容量趨于無窮大時，樣本估計量是否依較大的概率收斂于總體參數的真值。具體表現為漸近無偏性和漸近有效性。漸近無偏性是指樣本容量趨于無窮大時，樣本估計量如果能趨于總體經濟參數時，則稱之謂具有漸近無偏性的統計估計量；而漸近有效性是指樣本容量趨于無窮大時，樣本估計量如果是所有的一致估計量中方差趨于最小者，則稱之為漸近有效的估計。

　　前面所學習過的各類估計方法所得到的估計量，都能滿足這些性質的要求。且在大樣正態分布的總體假設下，最小二乘法、極大似然估計法和廣義矩估計法所得到的線性估計的結果是相同的。同時也可以證明三種方法都是線性無偏的一致有效的最佳估計量。

　　三、回歸方程估算程序。

　　不論是前述的哪種估計方法，要實現其估算操作，都需要編制計算機的程序軟件。而成熟的程序軟件很多，大致可以分為兩類，一類是隱藏內碼的軟件商品，如 SAS、SPSS、STAT、MATLAB 等一系列公司開發的商品軟件。另一類是開放內碼的，公益性開原軟件，如 R軟件。

　　在 R 程序中提供了一系列很方便使用的估算函數。主要內容介紹如下：

　　1、線性回歸模型的估算程序。

　　使用 R 軟件求解線性回歸方程是非常方便的，求解中可以對模型參數進行點估計和區間估計。參數的點估計命令為 1m（模型公式，數據…）；對該函數的各參數說明如下：

　　（1）模型公式：

　　被解釋變量 ~ 解釋變量 1+ 解釋變量 2+…+ 解釋變量 K（注：公式中加入“0”項時為無截距的方程）。數據：為內存中的向量或數據框中的數據。如果是內存中的數據對象，則該項可以省略。如果是數據框中的數據，則要在該項中指明數據框。

　　（2）參數的區間估計。

　　如果要進行區間估計，則需要在點估算的基礎上，并將其存入回歸對象后，可以使用如下命令做區間估計：confin（tobject,parm,level=0.95,…）；各參數意義如下：object:指回歸估算的結果對象名；parm:指定區間估計的參數列表，默認時為全部；level:估計的把握程度，默認時為 95%.

　　2、回歸對象可以讀取的其他信息。

　　在回歸的程序中還包含著殘差和回歸值等若干信息，需要時可以采用如下讀取方法：

　　（1）殘差項數據。

　　使用“回歸對象$resid”就可以獲得回歸對象中的殘差信息，或者使用 residuals（回歸對象）讀取殘差；使用 rstandard（回歸對象）函數計算獲得標準殘差；使用rstudent （回歸對象） 函數來計算獲得學生化的標準殘差。

　　（2）預測值數據。

　　對樣本數據進行回歸的估計值也可以觀察到，即使用“回歸對象$fitted.values”,或使用 predic（t回歸對象）函數進行回歸預測。

　　（3）回歸對象中的其他常用信息。

　　對回歸對象可以使用如下命令可獲得一些回歸分析的有用信息：

　�、倩貧w對象$df:獲得回歸的自由度；

　�、诨貧w對象$coef或 coef（回歸對象）：獲得回歸系數估計值；

　�、踠ogLik（回歸對象）：獲得回歸的自然對數似然統計量；

　�、躹cov（回歸對象）：獲得回歸系數的方差-協方差矩陣。

　　利用這些信息可以進一步測算更多的有關回歸分析的評價指標，并將其繪制成圖，以直觀反映這些特征。

　　3、非線性回歸的估計方法。

　　一個現象的數量可隨另一個現象而改變，但是改變的量是非固定的常數，反映這種關系的模型就是非線性模型。對于非線性模型的參數估計，基本上可以分為如下兩種情況：

　　（1）可線性化的模型。

　　主要采取變量置換和取對數這兩種處理方式，將非線性摸型轉化為線性模型，然后再利用線性模型的求解方法進行求解，或者采取廣義線性程序來求解。在R 中廣義線性程序為 glm（線性公式，模型方法選擇，數據源）；其中各參數使用方法如下：線性公式 formula:公式的列示方法與前述相同。模型方法選擇 family:是選擇特定的分布等類型（默認時是正態分布模型，即與 lm函數相同），如選擇 family=binomial 時，是二項選擇模型，其默認方法是 Logit 模型；而要選擇 Probit 模型時，就要使用 family=binomia（llink=probit）來表達。數據框data:指定公式和模型中使用的數據來源。

　　（2）無法線性化的模型。

　　回歸方程無法進行線性化時，由于多數非線性方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至是不可能的。為此，牛頓在 17 世紀提出的一種在實數域和復數域上，近似求解方程的方法，簡稱牛頓迭代法（Newton's method）。該方法的基本思想是：先給一組參數估計的初始值（如線性解 B），在 B 處做泰勒級數展開有 （fX,β）=（fX,β）+[α（fX,β）/αβ]（β-B）；設 D=α（fX,B）/αB為 K 階列向量，則有 （fX,β）=（fX,B）+D（β- B）則原模型可表述為 Y=（fX,B）- DB+Dβ+ε；進一步設 Y- f（X,B）+DB=y;則有線性化的模型 y=Dβ+ε；對該線性模型可以求得關于 β 的線性最小二乘解 C.該解 C在形式上是變量替換后的最小二乘法或極大似然法的線性解，實質上是其非線性近似解。如果將該 C解做為初始解，重新進行上述變換和求解過程，則可以得到更加近似的迭代解。如果將該迭代過程循環進行下去，就會使迭代解逐漸的趨近理想的估計值，不過這一過程需要依靠計算機程序來完成。在 R 中的非線性求解程序為 nls （formula,data,start,control,algorithm,trace,subset,weights, na.action,,…）；各參數說明如下：formula 表示似然函數或回歸方程的公式；data 表示樣本數據框，可以是數據列單，不可使用矩陣；start 表示初始的參數值；control 表示控制列表可選項；algorithm 表示線性部分設定；trace 表示顯示打印設置；subset 表示指定擬合數據子集；weights 表示指定加權最小二乘的權重；na.action 表示缺損數據的處理等。注意：使用 nls 采用同一數據系統，求解線性方程所得到的結果與 lm 函數相同。同時，對于特殊的非線性問題，R 軟件中還提供了一些求極值的函數，如單一參數的點估計函數 optimize（），多參數的牛頓迭代似然估計函數 nlm（），通用極值函數 optim（）等，都可以使用，具體用法可參見在線幫助。

　　參考文獻：

　　王濤《計量經濟學》科學出版社 2015/6.

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