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“幾何畫(huà)板”在數(shù)學(xué)中的使用
以下是小編整理的關(guān)于“幾何畫(huà)板”在數(shù)學(xué)中的使用的論文，希望對(duì)數(shù)學(xué)畢業(yè)的同學(xué)有所幫助!
摘 要：指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，它們有無(wú)交點(diǎn)呢?當(dāng)?shù)讛?shù)0在高中階段的教學(xué)過(guò)程中，對(duì)函數(shù)圖像的畫(huà)法要求并不是很高，多數(shù)函數(shù)圖像都只要求能作出簡(jiǎn)圖就可以了，特別是求超越方程解的個(gè)數(shù)的時(shí)候，常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，只需畫(huà)出其大致圖像就可以解決。正因如此，我們就往往忽略了畫(huà)出的函數(shù)圖像要與實(shí)際大體相符，如果相差太遠(yuǎn)，不但使我們得不到正確的結(jié)果，甚至?xí)a(chǎn)生一些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，就像前面提出的問(wèn)題一樣，如果我們認(rèn)為底數(shù)a>1時(shí)，它們的圖像無(wú)交點(diǎn)，底數(shù)0。
關(guān)鍵詞：巧解;函數(shù)圖像;交點(diǎn)個(gè)數(shù);幾何畫(huà)板
一、問(wèn)題的出現(xiàn)
一天，一位學(xué)生問(wèn)我：“指數(shù)函數(shù)y=ax(0)
二、探索之旅
1.尋找函數(shù)y=(1/16)x與y=log1/16x的圖像的交點(diǎn)
為了弄清楚這兩個(gè)函數(shù)的圖像究竟有多少個(gè)交點(diǎn)，我拿了一張A3紙，認(rèn)真地去畫(huà)這兩個(gè)函數(shù)的圖像，但相交部分太靠近了，怎么才能使畫(huà)出的圖像與實(shí)際圖像相符呢?雖盡了最大努力畫(huà)好后，也完全看不出還有其他交點(diǎn)的情況，只好作罷。
后來(lái)在無(wú)意中發(fā)現(xiàn)，《幾何畫(huà)板》這個(gè)數(shù)學(xué)軟件，有強(qiáng)大的函數(shù)作圖能力，于是就想，是不是可以用它把兩個(gè)函數(shù)的圖像畫(huà)出來(lái)，不就清楚了嗎?趕緊打開(kāi)《幾何畫(huà)板》，不一會(huì)便畫(huà)出了兩個(gè)函數(shù)的圖像。然而沒(méi)想到的是，它們的圖像畫(huà)出來(lái)也仍然如此，在中間一部分已基本重合在一起，究竟有多少個(gè)交點(diǎn)，完全看不清楚，又試圖把圖象放大一些，也無(wú)計(jì)于事。開(kāi)始還以為是受分辨率影響，但后來(lái)已調(diào)到最佳狀態(tài)，也不能清楚地顯示出交點(diǎn)情況來(lái)。
是不是就沒(méi)有辦法呢?不甘示弱的我沉悶了半晌，又想出了一個(gè)怪招，即把兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行作差，構(gòu)造成一個(gè)新的函數(shù)，即y=(1/16)x-log1/16x，畫(huà)出它的圖像。因?yàn)閮蓚�(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是這個(gè)新函數(shù)的根的個(gè)數(shù)，即新函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，但圖像與x軸相交的那一部分，依然不能看清，再一次以失敗告終。
我又仔細(xì)地對(duì)圖像進(jìn)行了觀察，心想這個(gè)新圖像應(yīng)是有一部分在x軸上方，一部分在x軸的下方，才能說(shuō)明它與x軸有交點(diǎn)，如果再把圖像的上下拉長(zhǎng)，不就清楚了嗎?于是又在函數(shù)前加了一個(gè)系數(shù)10，即利用《幾何畫(huà)板》畫(huà)出了函數(shù)y=10[(1/16)x-log1/16x]的圖像，終于清楚了一點(diǎn)，再把系數(shù)換成100，即又畫(huà)出了函數(shù)y=100[(1/16)x-log1/16x]的圖像，則完全清楚了，臉上終于露出了笑容。它的圖像如右圖所示，盡管它的差值被放大了100倍，但它的兩個(gè)突起部分都僅有約1毫米高。
2.探索函數(shù)y=ax與y=logax(0 有了上面肯定的結(jié)論，我們便可以探尋這兩類(lèi)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)變化情況，首先，將函數(shù)y=ax-logax中底數(shù)a逐漸增大，就會(huì)看到圖像與x軸兩邊的交點(diǎn)逐漸向中間靠攏，直到a值約為0.065987時(shí)，即使圖像振幅放大到10萬(wàn)倍，都不能看出是三個(gè)交點(diǎn)了，因此，此時(shí)的a值應(yīng)是三個(gè)交點(diǎn)重合在一起的條件。如果將底數(shù)a值繼續(xù)增大但要小于1時(shí)，則只有一個(gè)交點(diǎn)的特征就越來(lái)越明顯，至此再無(wú)其他的交點(diǎn)。
如果將底數(shù)a值逐漸縮小，則圖像與x軸兩邊的交點(diǎn)逐漸向兩邊分開(kāi)，左邊一個(gè)逐漸靠近坐標(biāo)原點(diǎn)，另一個(gè)靠近點(diǎn)(1，0)，其差值也增大，是三個(gè)交點(diǎn)的特征越來(lái)越明顯。
再來(lái)觀察一下數(shù)值0.065987，它與(1/e)e (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828…)的值非常接近，而當(dāng)a取(1/e)e時(shí)，函數(shù)式變?yōu)閥=e-ex+(1/e)lnx，此時(shí)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)剛好為(1/e，0)，即方程(1/e)ex=-(1/e)lnx的解為1/e，所以這時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)為(1/e，1/e)，正好在直線y=x上。
由此，可以得出函數(shù)y=ax與y=logax(0 3.探索函數(shù)y=ax與y=logax(a>1)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)變化情況
當(dāng)這兩個(gè)函數(shù)的底數(shù)都大于1時(shí)，是否它們的圖像就無(wú)交點(diǎn)呢?再次利用《幾何畫(huà)板》畫(huà)出函數(shù)y=2x-log2x它們的圖像，發(fā)現(xiàn)它與x軸并無(wú)交點(diǎn)，先把底數(shù)a的值縮小，如y=√2x-log√2x，它的圖像與x軸就出現(xiàn)了兩個(gè)交點(diǎn)，因此這兩個(gè)函數(shù)的圖像就應(yīng)有兩個(gè)交點(diǎn)了，當(dāng)再次縮小時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)則更加明顯，然后就增大底數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)a的值約為1.44467時(shí)，函數(shù)出現(xiàn)了一個(gè)交點(diǎn)，而這個(gè)值與e1/e很接近，而當(dāng)a=e1/e時(shí)，函數(shù)解析式化為y=ex/e-elnx，此函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(e，0)，即兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)為(e，e)，也恰好在直線y=x上，若再增大，則最多只有兩個(gè)交點(diǎn)。
由以上分析知，對(duì)于函數(shù)y=ax與y=logax(a>1)而言，當(dāng)?shù)讛?shù)a∈(1，e1/e)時(shí)，它們的圖像有兩個(gè)交點(diǎn);而當(dāng)?shù)讛?shù)a=e1/e時(shí)，它們的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)?shù)讛?shù)a∈(e1/e，+∞)時(shí)，它們的圖像無(wú)交點(diǎn)。
事實(shí)上，當(dāng)?shù)讛?shù)a=1時(shí)，它們就是兩條直線y=1和x=1，也只有一個(gè)交點(diǎn)。
三、尋寶歸來(lái)
通過(guò)不懈地努力，終于把這兩個(gè)函數(shù)的圖像交點(diǎn)情況弄清楚，由以上各種情況綜合，即可詳細(xì)得出函數(shù)y=ax與y=logax圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)條件，如下表：
四、收獲感言
經(jīng)過(guò)這一次認(rèn)真地去探索一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，使我感受到了解決一個(gè)科學(xué)問(wèn)題的艱辛與快樂(lè)，其實(shí)生活中的許多事情也如此，看似簡(jiǎn)單與平凡，只要你能認(rèn)真地去思考和勇敢地去面對(duì)，任何問(wèn)題都有解決的辦法，即使失敗，也應(yīng)堅(jiān)信真理的存在，只有堅(jiān)持不懈的努力，才能讓你的靈感一次次地出現(xiàn)，只有付出更多的勞動(dòng)，才能收獲成功的喜悅。
參考文獻(xiàn)：
[1]彭學(xué)軍，高曉玲.“幾何畫(huà)板”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].四川教育學(xué)院學(xué)報(bào).2003年S1期
[2]姚淑華，李孝誠(chéng).幾何畫(huà)板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用模式的探討[J].電腦知識(shí)與技術(shù).2008年30期
[3]符瑜.幾何畫(huà)板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].考試周刊.2008年16期
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