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分段函數
摘 要: 本文概括了分段函數常見問題的解決方法。
關鍵詞: 分段函數 常見問題 解決方法
分段函數是指在函數定義域中對于自變量的不同的取值范圍有不同的對應法則的函數。變量之間的關系要用兩個或兩個以上的式子表示。這種函數在日常生活、醫學問題等方面中廣泛存在。如居民水費,電費,企業稅收金,醫學中某些藥品用量規定等采取分檔處理,用數學式子表達就是分段函數。由于“分段”特點,解決分段函數的問題必須采取嚴謹的特殊方法,既要涉及初等函數公式、定理,又要綜合運用高等數學的概念、公式、定理,是高等數學學習的難點。本文概括了分段函數常見問題的解決方法。
一、分段函數的確定
首先要準確確定分段點并劃分自變量的取值區間,然后根據不同的區間正確確定函數關系式。對于分段函數通過+、-或復合的新分段函數,關鍵是確定新分段點,重新劃分區間,還要注意只有在各分段函數的定義域有公共區間才能進行復合。
例1:將函數f(x)=2-|x-2|表示成分段函數。
(A)f(x)=4-x(x≥0)x(x<0) (B)f(x)=4-x(x≥2)x(x<2)
(C)f(x)=4-x(x≥0)4+x(x<0)(D)f(x)=4-x(x≥2)4+x(x<2)
分析:∵f(x)=|x-2|=x-2(x≥2)2-x(x<2),∴選(B)。
例2:設f(x)= 1 (x>0)-1(x≤0),g(x)=x+1,f[g(x)]=。
分析:定義域為R,又∵g(x)=x+1>0,∴f[g(x)]=1。
例3:設f(x)= 0(x≤0)x(x>0),求F(x)=f(x)-f(x-1)。
分析:∵f(x-1)=0(x≤1)(x-1)(x>1),分段點有兩個x=0,x=1,
∴F(x)= 0(x≤0)x(01)。
例4:設f(x)=1(0≤x≤1)2(1 (A)無意義 (B)在[0,2]有意義
(C)在[0,4]有意義(D)在[2,4]無意義
分析:∵f(x)定義域為[0,2],則2x∈[0,2],得x∈[0,1];又x-2∈[0,2],得x∈[2,4],∴選(A)。
二、分段函數定義域
分段函數的定義域各個部分自變量取值的并集。
例1:設f(x)=(|x|≤1)x-1(1<|x|≤2),其定義域是()。
分析:定義域為{x||x|≤1}∪{x|1<|x|<2}=(-2,2)。
例2:設f(x)=x-1(x<0)2 (0 分析:定義域為(-∞,0)∪(0,1)∪[1,3)=(-∞,0)∪(0,3)。
三、分段函數的函數值
根據x的所在區間,正確選取相應的表達式,代入求計算即得。
例1:設f(x)=1-x(-3≤x<0)(0≤x≤3),求f(a)。
分析:∵a≥0,∴f(a)==|a|=-a(-≤a<0) a (0≤a≤)。
例2:設f(x)=2x (x≤2)x-4x-3(x>2),求f[f(1.5)]。
分析:∵1.5<2,∴f(1.5)=3;
又∵3>2,∴f[f(1.5)]=9-12+3=0。
例3:設f(x)=6(x<2)3(2≤x<3)2(x≥3),且a>0,求。
分析:∵a>0,∴f(2-a)=6,f(2+a)=3或2,
∴=或。
四、分段函數的反函數
首先判斷函數的定義域與值域是否一一對應(或函數是否有單調性),確定反函數是否存在。若存在只要分別求出各區間段相應函數的反函數并確定相應自變量的取值范圍。
例1:設f(x)=(-∞ 分析:作圖可知函數的定義域與值域一一對應,反函數存在,分別求出各區間的反函數為f(x)=2x (-∞ 例2:設f(x)= e(x≥0)x+1(x<0),求反函數f(x)。
分析:f(x)是單調遞增函數,反函數存在,為f(x)=lnx(x≥1)x-1(x<1)。
五、分段函數的奇偶性
首先判斷定義域是否關于原點對稱,是的話,分別用-x代替解析式中的x并解出結果。注意自變量的取值范圍相應改變,也可以通過作圖判定。
例1:判斷f(x)=x-1(x<0)0(x=0)x+1(x>0)的奇偶性。
方法一:作圖可知圖像關于原點對稱,是奇函數。
方法二:
分析:定義域(-∞,+∞)關于原點對稱。
f(-x)=-x-1(-x<0) 0 (x=0)-x+1(-x>0)=-(x+1)(x>0)0(x=0)-(x-1)(x<0)
∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函數。
例2:判斷f(x)=x+2(-2≤x≤-1)1(-1 方法一:作圖可知圖像關于y軸對稱,是偶函數。
方法二:分析:定義域[-2,2]關于原點對稱。
f(-x)=-x+2(-2≤-x≤-1) 1 (-1<-x<1)2+x(1≤-x≤2)=-x+2(1≤x≤2) 1 (-1 ∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數。
六、分段點的極限
對于非分段點或兩側表達式相同的分段點可用初等函數的求極限方法。而對于兩側表達式不同的分段點的極限要分別求出左右極限。根據定理f(x)=f(x)=A?圳f(x)=A判斷函數在該點的極限是否存在。
例1:已知f(x)=x(x≠2)1 (x=2),求f(x)。
(A)2 (B)1 (C)4 (D)∞
分析:∵x=2是分段點但兩側表達式相同,由上述定理可得:
∴f(x)=f(x)=x=4。
例2:f(x)== 1 (x>1)-1(x<1),求f(x)。
分析:x=1是分段點且兩側表達式不同。要分別求出左右極限。
∵f(x)=1,f(x)=-1,∴f(x)不存在。
例3:f(x)=3x (x<1) 2(x=1)3x(x>1),求f(x)。
分析:∵f(x)=3,f(x)=3,∴f(x)=3。
七、分段函數的連續性
由于一切初等函數在它的定義域內是連續的,因此分段函數的連續性關鍵是判斷分段點的連續性。
例1:判斷f(x)=(x>0)e(x≤0)在x=0處是否連續。
分析:∵f(x)=1,f(x)=1,又f(0)=1,∴f(x)在x=0處連續。
例2:f(x)= (x<0)3x-2x+k(x≥0)在x=0處連續,求k。
分析:x=1是分段點且兩側表達式不同。要分別求出左右極限。
分析:∵f(x)=2,f(x)=k,∴k=2。
例3:函數f(x)=(x>0)a(x=0)xsin+b(x<0)在其定義域內是連續的,求a、b的值。
分析:由題意可知,f(x)在x=1處連續。
∵f(x)=,f(x)=b,又f(0)=a,∴a=b=。
八、分段函數的導數
非分段點可利用公式求出導數再代入即可。對于分段點且兩側表達式相同的可根據定義。對于分段點用兩側表達式不同的,必須求出左導和右導。
例1:f(x)=(x≠0)0 (x=0),求f′()、f′(0)。
分析:∵f′(x)=,∴f′=-,f′(0)===1。
例2:f(x)=ln(1+x)(x>0) x(x≤0),求f′(0)。
分析:∵f′(x)===1,f′(0)==1,∴f′(0)=1。
例3:f(x)=e(x<0)e (x≥0),求f′(x)。
分析:∵f′(0)===1,
f′(0)==-1,
∴f(x)在x=0處不可導,∴f′(x)=-e(x<0)e(x>0)。
九、分段函數的不積分
分別求出各區間段相應函數的不定積分,再由連續性確定常數。
例1:f(x)= x (x<0)-sinx(x≥0),求f(x)dx。
分析:f(x)dx= +c (x<0)cosx+c(x≥0)
∵f(x)在x=0處連續,∴c=1+c,
∴f(x)dx=+1+c(x<0) cosx+c (x≥0),其中c為任意常數。
例2:f′(x)=1 (x≤0)e(x>0),且在x=0處連續,f(0)=0,求f(x)。
分析:f(x)=f′(x)dx=x+c (x≤0)e+c(x>0)
∵f(x)在x=0處連續,且f(0)=0,c=0,c=-1。
∴f(x)=x (x≤0)e-1(x>0)。
十、分段函數的定積分
利用定積分的可加性,分成多個定積分。注意要根據分段區間選取相應被積函數。
例1:f(x)=1(-1≤x<0)2(0≤x≤1),求f(x)dx。
分析:f(x)dxdx=dx+2dx=。
例2:求|1-x|dx。
分析:|1-x|dx=(1-x)dx+(x-1)dx=1。
例3:f(x)= 0 (x<0)(0≤x≤1) 0 (x>1),kf(x)dx=1,求k的值。
分析:∵kf(x)dxkf(x)dx+kf(x)dx+kf(x)dx=kdx=1,∴k=。
十一、結語
在討論分段函數的有關問題中,分段點是個特殊點,一般要分段處理。特別是求分段點極限、導數,以及判斷連續性,都要“左看右看”,謹慎處理。
參考文獻:
[1]劉書田等編.高等數學.北京理工大學出版.
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