歸納法的應用

　　摘 要：數學歸納法是證明某些與自然數有關的數學命題的一種數學推理方法，是一種形式獨特的完全歸納推理，在數學解題中有著廣泛的應用.本文指出了數學歸納法的理論依據——佩亞諾()的歸納公理，討論了數學歸納法在中學數學中的應用，并指出了使用數學歸納法時的注意點.

　　關鍵詞：數學歸納法;應用;

　　數學歸納法是一種常用的證明方法，在不少數學問題的證明中，它都有著其他方法所不能替代的作用，甚至在物理、生物等方面都有著廣泛的前景.本文先簡單闡述數學歸納法的理論依據，然后通過一些具有例子討論數學歸納法在中學數學中的應用，最后簡單敘述數學歸納法在應用中需要注意的問題.

　　歸納法和演繹法都是重要的數學方法.歸納法中的完全歸納法是邏輯方法;不完全歸納法是非邏輯方法，只適用于數學發現思維，不適用于數學嚴格證明.

　　數學歸納法既不是歸納法，也不是演繹法，是一種遞歸推理，其理論依據是佩亞諾公理Ⅰ―Ⅴ中的歸納公理：

　　Ⅰ.存在一個自然數0∈N;

　　Ⅱ.每個自然數a有一個后繼元素d，如果d是a的后繼元素，則a叫做d的生成元素;

　　Ⅲ.自然數0無生成元素;

　　Ⅳ.如果d=b′，則a=b;

　　Ⅴ.(歸納公理)自然數集N的每個子集M，如果M含有0，并且含有M內每個元素的后繼元素，則M=N.

　　數學歸納法作為一種證明方法有著廣泛的應用，它不僅可以用來證明與自然數有關的初等數學問題，而且還可以解決高等數學、幾何學、離散數學、概率論甚至物理、生物、計算機等方面的有關問題.在用數學歸納法解決以上問題時，能大大降低問題的復雜性，同時能找出相應的遞推關系.下面結合具體例子討論數學歸納法在整除、不等式、數列等問題中的應用.

　　1數學歸納法在整除問題的應用

　　整除問題都可以用數學歸納法來解決，用數學歸納法證明整除問題時，首先要從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式整除，這是數學歸納法證明整數的整除性問題的一個技巧.

　　例1 求證：n3+5n(n∈N+)能被6整除.

　　證 (1)當n=1時，13+5×1=6能被6整除，命題成立.

　　(2)假設n=k時，命題成立，即k3+5k能被6整除.

　　當n=k+1時，有(k+1)3+5(k+1)=(k3+3k2+3k+1)+(5k+1)

　　=(k3+5k)+3k(k+1)+6.

　　因為兩個連續的正整數的乘積k(k+1)是偶數，所以3k(k+1)能被6整除.

　　從而(k3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除，即當n=k+1時命題也成立.

　　根據數學歸納法知，對一切正整數命題都成立.

　　2數學歸納法在不等式問題的應用

　　用數學歸納法證明不等式，宜先比較n=k與n=k+1這兩個不等式間的差異，以決定n=k時不等式做何種變形，一般地只能變出n=k+1等式的一邊，然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明.

　　例2 設ai>0(i=1，2，…，n)，且a1+a2+…+an=1.

　　求證：a21+a22+…+a2n?1n(n?2).

　　證(1)當n=2時，因a1+a2=1，故.a21+a22+2a1a2=1.

　　又a21+a22?2a1a2，所以a1+a2?12.

　　(2)假設當n=k時命題成立，即在a1+a2+…+ak且a>0(i=1，2，…，k)的條件下有a21+a22+…+a2k?1k.

　　則當n=k+1時，a21+a22+…+ak2+ak+12=1，且ai>0，所以0　　故1-ak+1>0滿足歸納假a21+a22+…+a2k?1k設所應滿足的條件，所以(a11-ak+1)2+(a21-ak+1)2+…+(ak1-ak+1)2?1k.

　　即 a21+a22+…+a2k?(1-ak+1)2k

　　a21+a22+…+a2k+ak+12?(1-ak+1)2k+ak+12.

　　因為(1-ak+1)2k+ak+12-1k+1=(k+1)2ak+12-2(k+1)ak+1+1k(k+1)

　　=1k(k+1)[(k+1)ak+1-1]2?0

　　所以a21+a22+…+a2k+ak+12?1k+1.

　　根據數學歸納法，原命題對大于的自然數都成立.

　　3數學歸納法在數列問題的應用

　　例3 設數列{an}的前n項和為Sn，若對于所有的自然數n，都有Snn(a1+an)2，證明{an}是等差數列.

　　證設a2-a1=d，假設an=a1+(n-1)d.

　　當n=1時，an=an，所以當n=1時假設成立.

　　當n=2時，a1+(2-1)d=a2，所以當a=2時假設成立.

　　假設當n=k(k?2)時，假設也成立，即：ak=a1+(n-1)d.

　　當n=k+1時，ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(a1+ak+1)2-k(a1+ak)2.

　　將ak=a1(k-1)d 代入上式，得到

　　2ak+1=(k+1)(a1+ak+1)-2ka1-k(k-1)d

　　整理得 (k-1)ak+1=(k-1)a1+k(k-1)d.

　　因為k?2，所以ak+1=a1+kd，即n=k+1時假設成立.

　　根據數學歸納法可知，對所有的自然數n，都有an=a1+(n-1)d，從而{an}是等差數列.

　　本題是將證明等差數列的問題轉化成證明數學恒等式關于自然數n成立的問題.在證明過程中ak+1的得出是本題解答的關鍵，利用了已知的等式Sn=n(a1+an)2，數列中通項與前n項和的關系ak+1=Sk+1-Sk建立含ak+1的方程，代入假設成立的式子ak=a1+(k-1)d中解出ak+1.另外本題注意的一點是不能忽視驗證n=1、n=2的正確性.因為，由(k-1)ak+1=(k-1)a1+k(k-1)d得到ak+1=a1+kd的k?2.所以，用數學歸納法證明時遞推的基礎是n=2時等式成立.

　　數學歸納法主要是針對一些自然數的相關命題，所以在證明和自然數n有關的式子中有著不可替代的作用，對于一些和自然數有關的長式子、繁式子都有化長為短、化繁為簡的功效.當然在使用數學歸納法時要注意：第一，證明的兩個步驟缺一不可.第一步是歸納法的基礎，第二步是歸納法的傳遞.尤其不可忽視第一步的驗證;第二，第二步在證明T(n+1)為真時，一定要用到歸納假設，即要把“T(n)為真，推出T(n+1)為真”或由“T(n0)，T(n0+1)，…，T(k-1)為真，推出T(k)為真”的實質蘊含真正體現出來，否則不是數學歸納法證明;第三，并不是凡與自然數相關的命題T(n)都能用數學歸納法給以證明的.

　　參考文獻：

　　[1]劉艷.數學歸納法的原理及其應用.山西經濟管理干部學院學報，2011，(09)：54-56.

　　[2]張瑞峽.數學歸納法的理論基礎.科教文匯，2011，(07)：24-26.

　　[3]姜春曉，張紅青.淺談數學歸納法在中學數學中的應用.中國校外教育報，2012，(02)：29-30.

　　[4]胡重光.數學歸納法與皮亞諾公理.數學理論與應用，2005，(04)：34-37.

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