導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

時(shí)間：2022-09-30 18:41:19 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文我要投稿

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　　摘要： 導(dǎo)數(shù)知識(shí)是“高等數(shù)學(xué)”中極其重要的部分，它的內(nèi)容、思想和應(yīng)用貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)之中。微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是導(dǎo)數(shù)知識(shí)中的重要內(nèi)容，它們?cè)诓坏仁阶C明中有著廣泛的運(yùn)用。

導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

　　關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 不等式證明中值定理泰勒公式應(yīng)用

　　導(dǎo)數(shù)知識(shí)是高等數(shù)學(xué)中極其重要的部分，它的內(nèi)容思想和應(yīng)用貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是導(dǎo)數(shù)知識(shí)中的重要內(nèi)容.微分中值定理主要有:Roller定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要包括：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、最值、凸性、泰勒公式等.我們可以根據(jù)這些定理的內(nèi)容把它們和要證明的不等式有機(jī)結(jié)合起來，尋找證明的有效途徑.

　　1.利用拉格朗日中值定理證明不等式

　　利用拉格朗日中值定理，一般要考慮導(dǎo)函數(shù)f′(x)的單調(diào)性，但有時(shí)不一定要求導(dǎo)函數(shù)具有單調(diào)性，如果能斷定導(dǎo)函數(shù)在所討論的區(qū)間上不變號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，也可以推證出不等式.解決這類問題的一般步驟是:

　　第一步：分析要證明的不等式，通過適當(dāng)?shù)淖冃魏螅x取輔助函數(shù)f(x)和區(qū)間[a，b];

　　第二步：根據(jù)拉格朗日中值定理得到=f′(c);

　　第三步：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)上的單調(diào)性，把f′(c)作適當(dāng)放大和縮小，從而推證要證明的不等式.

　　例1：如果0

　　證明：將要證明的不等式變形為(1-x)e-(1+x)<0(0

　　但在(0，1)上我們不易判別f′(x)的符號(hào)，為此我們由f(x)在(0，1)上的二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的符號(hào)來判別f′(x)的單調(diào)增減性，因?yàn)閒″(x)=-4xe<0(0

　　(1-x)e-(1+x)=[(1-2c)e-1]x<0，

　　即(1-x)e-(1+x)<0(0

　　例2：證明不等式

　　證明：設(shè)f(x)=ln(x)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以存在c∈(a，b)，使得f′(c)=，由f′(c)=，得=.

　　又因<<，于是

　　2.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

　　許多不等式與函數(shù)相關(guān)，或整理后與函數(shù)相關(guān)，我們可以先用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，再用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)去證明不等式，這就是利用單調(diào)性證明不等式的思想.用單調(diào)性證明不等式的步驟：

　　(1)確定函數(shù)自變量所在的區(qū)間[a，b];

　　(2)求f′(x)，確定f(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)性;

　　(3)由單調(diào)性得到不等式.

　　例3:證明：當(dāng)x>1時(shí)，不等式lnx>恒成立.

　　證明：令f(x)=lnx-，則f′(x)=-=.

　　因?yàn)閤>1，所以f′(x)>0，即x>1時(shí)，f′(x)為增函數(shù)，所以：

　　f(x)>f(1)=ln1-=0，

　　所以lnx->0，即lnx>.

　　3.利用函數(shù)的凹凸性證明不等式

　　若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上是凹(凸)的，則對(duì)(a，b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x和x，都有f()<(>)[f(x)+f(x)]，從而可利用函數(shù)圖形的凹凸性證明一些不等式，特別是一類多元不等式.通常是根據(jù)欲證不等式，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用該函數(shù)在某區(qū)間上的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定在該區(qū)間上的凹凸性，從而證明不等式.

　　例4:證明不等式xlnx+ylny>(x+y)ln(x>0，y>0，x≠y).

　　分析：觀察欲證不等式，易發(fā)現(xiàn)其等價(jià)不等式為>ln，從而易想到應(yīng)構(gòu)造輔助函數(shù)f(t)=tlnt(t>0).

　　證明：令f(t)=tlnt(t>0)，因?yàn)閒′(t)=1+lnt，f″(t)=>0，所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)是凹的，于是對(duì)于任給x，y∈(0，+∞)，x≠y，都有

　　>ln，

　　所以xlnx+ylny>(x+y)ln.

　　4.利用泰勒公式證明不等式

　　如果函數(shù)f(x)的二階和二階以上導(dǎo)數(shù)存在且有界，可以利用泰勒公式證明這些不等式.

　　證題思路：①寫出比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒展開式;

　　②恰當(dāng)選擇等式兩邊x與x;

　　③根據(jù)最高階導(dǎo)數(shù)的大小或界對(duì)展開式進(jìn)行放縮.

　　例5:設(shè)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f″(x)≥0，則：

　　f≤，