微積分中的反例論文

　　微積分中的反例論文列舉了微積分中常見的典型反例，并論述了反例在微積分教學中的作用：一方面可以強化概念、揭示概念的內涵，準確把握概念之間的關系，透徹理解定理的條件;另一方面有助于培養學生的逆向思維能力，更有助于培養學生的數學技能.

　　微積分中的反例論文【1】

　　【關鍵詞】 反例;微積分;函數;微分;積分

　　用命題形式給出的一個數學問題，要判斷它是錯誤的，利用只滿足命題的條件但是結論不成立的例證，就足以否定這個命題，這就是反例.通過舉出反例從而證明一個命題的虛假性的方法叫做反例法.反例思想是微積分中的重要思想，用逆向思維方法從問題反面出發，可以解決用直接方法很難或無法解決的問題.

　　在微積分中存在大量的反例，其意義遠遠超過了它的具體內容，除了它能幫助學生深入地理解有關數學對象性質之外，還促進了學生的辯證思維方式的形成.

　　1.連續、可導、可微問題

　　微積分中對于無窮大與無界、極大(小)值與最大(小)值以及可導與連續等容易混淆的概念之間的關系，可以通過運用適當的反例進行準確理解把握.同時也能培養與提高學生的辯證思維能力.

　　情形1 若函數y=f(x)在a點處連續，則函數y= f(x) 在a點處也連續.但其逆命題不成立.

　　反例：函數f(x)= 1，x>0-1，x<0 ，

　　雖然 f(x) =1在x=0處連續，但f(x)在x=0處不連續.

　　情形2 若函數y=f(x)在點x處可導，則函數y=f(x)在x點處連續.但其逆命題不成立.

　　反例：函數f(x)= x = x，x≥0-x，x<0 ，

　　雖然函數f(x)= x 在x=0處連續，但函數f(x)= x 在x=0處不可導.

　　情形3 函數y=f(x)在x=x0處可導，則函數f(x)在x=x0的鄰域內不一定連續.

　　反例：函數f(x)= x2，x為有理數0，x為無理數 ，

　　在x=0處可導，但在0點的任何鄰域，除0點外都不連續.

　　情形4 函數f(x)在x=x0處可導，則f(x)在x=x0處是否有連續導數?

　　反例：函數f(x)= x2sin 1 x +1， x≠0，0， x=0.

　　在x=0處可導，但導數不連續.

　　事實上，f′(0)=lim x→0 f(x)-f(0) x-0 =lim x→0 x2sin 1 x x =lim x→0 xsin 1 x =0，即函數f(x)在x=0處可導.但當x≠0時，f′(x)=2xsin 1 x +x2cos 1 x - 1 x2 =2xsin 1 x -cos 1 x

　　極限lim x→0 f′(x)=lim x→0 2xsin 1 x -cos 1 x 不存在，即函數f(x)的導數不連續.

　　綜上歸結，對一元函數f(x)在點x0可有：可微可導連續有極限.通過恰當的反例可以快捷而準確地把握它們之間所存在的關系.

　　情形5 當f(x0)≠0時，由 f(x) 在x0可導不一定能推出f(x)在x0可導.

　　反例 ：函數f(x)= x，x∈ 0，1 ，-x，x∈ 1，2 .

　　而 f(x) =x，x∈ 0，2 ，顯然 f(x) 在x0=1處可導，但f(x)在x0=1處不可導.

　　2.無窮大量與無界量問題

　　情形6 無窮大量必為無界量，但無界量不一定是無窮大量.

　　反例：函數f(x)=3xcos2x+1，

　　在U +∞ 上無界，但lim x→+∞ f(x)≠∞，若取數列xn=nπ+ π 4 n=1，2，… ，則xn→+∞ n→∞ ，而lim n→∞ f xn =lim n→∞ 3 nπ+ π 4 ・cos 2nπ+ π 2 +1=1，即f(x)并不趨于∞，f(x)不是無窮大量.

　　3.函數的極大(小)值與最大(小)值問題

　　情形7 可導函數的極值點一定是函數的駐點，但駐點不一定是函數的極值點.

　　反例：x=0是函數f(x)=x3的駐點，但不是其極值點.

　　情形8 函數f(x)的極大(小)值不一定就是最大(小)值.

　　反例：函數f(x)= 4 3 x3-4x2+3x+1，x∈ -1，3 ，

　　由于f′(x)=4x2-8x+3=4 x-1 2-1，易見x= 1 2 或x= 3 2 為f(x)的穩定點，列表如下：

　　微積分教學中反例的應用【2】

　　摘要：本文通過具體實例，來加強學生在微積分學習中對概念的理解，進而培養學生的創造精神、提高學生縱向思維的能力。

　　關鍵詞：應用 反例 微積分 高等數學微積分是高等數學的主要部分，它是我院高職一年級學生必修的一門重要基礎課程。它可以為學生學習后繼課程和解決實際問題提供必要的數學基礎。通過各個教學環節，可以逐步培養學生比較熟練的運算能力，綜合運用所學知識分析和解決實際問題的能力，初步抽象概括能力、自覺力圖經及一定的邏輯推理能力。

　　我院根據各專業的實際需要，對數學教學的基本要求是“以應用為目的，以必須夠用”為原則，以“強化概念理解，注重應用計算為依據，對微積分中的重要性質、定理、公式只作介紹，側重于應用計算，不做證明與推導。

　　在數學教學中，常會遇到一些值得思考的問題，對它們不可能在教材中進行詳細討論。

　　但要弄清楚這些問題，對提高學生的縱向思維卻極其重要，這就要求思考者具有高超的分析思維能力。通過應用反例直入主題，切重要害，它能起到事半功倍的作用，很受學生歡迎。本文圍繞高等數學中的重要分支微積分中的連續性、可微性和可積性進行具體探討反例在微積分教學中的作用。

　　一、兩個無窮小的商一定是無窮小嗎?

　　在無窮小性質的教學中，根據性質有一條推論：有限個無窮小量的乘積一定是無窮小量。學生在學習這一問題時常會問：兩個無窮小量的商一定是無窮小量嗎?對于這一結論大部分同學認為是正確的。不妨舉一個反例：

　　如： =0， =0都是無窮小量，而 (第一個重要極限)，顯然，兩個無窮小量的商不一定是無窮小量，也就得出了兩個無窮小量的商不一定是無窮小量的結論。

　　二、最大值與最小值定理中條件改變一定還存在最大值與最小值嗎?

　　最大值與最小值定理的內容是閉區間[a，b]上連續函數一定存在最大值與最小值(據團區間上的連續函數的性質)。

　　1、在定理中，如果將閉區間[a，b]改為開區間(a，b)，那么結論不一定成立。

　　如求f(x)=x在區間(2，4)上的最大值與最小值。

　　顯然函數f(x)=x在開區間(2，4)上連續，且在該區間內單調增加，所以函數的最大值與最小值應在區間的兩端點處取得，而函數在兩端點處無定義，所以f(x)=x在開區間(2，4)上不能取得最大值與最小值。

　　2、在定理中，如果閉區間[a，b]內存在間斷點，結論不一定成立

　　如f(x)=

　　考慮函數f(x)在閉區間[0，2]上的最大值與最小值

　　因為

　　即 不存在，即在閉區間[0，2]上有間斷點且x=1是第一類跳躍間斷點，所以f(x)在[0，2]上不能取得最大值與最小值。

　　三、函數在閉區間上有原函數一定可積嗎?

　　在積分學中，微積分基本公式即牛頓-萊布尼茲公式是個十分重要的公式，它將不定積分與定積分巧妙的結合起來，它揭示了定積分被積函數的原函數(不定積分)之間的聯系。給定積分的計算提供了一個很好的計算方法，簡化了定積分的計算。

　　上述公式是學生記憶中的公式，F(x)是連續函數f(x)在[a，b]上的一個原函數，這樣使定積分的計算轉化成了求被積函數一個原函數的問題。因學生容易忽視f(x)連續的條件，認為在應用此公式時f(x)連續的條件是多余的。

　　定義函數如下：

　　首先證明，這個函數存在原函數，我們指出，下面這個函數就是它的原函數：

　　為此目的，只需證明 對任何x∈[0，1]成立，而0　　現在來考慮 的定積分是否存在，其實容易看出它在閉區間[0，1]無界，因為任意 ，函數 在區間(0， )無界，在這個區間上， 是無窮小量和有界量的乘積，是無窮小量。

　　但 這一項卻是在正無窮與負無窮之間反復振動的量，例如取 ，則其值為 ，但若取 ，則其值為 ，只要n充分大，便可使 ，同時 卻可以大于任何預先給定的正數。這就是說，任意 ，函數 在區間(0， )無界，從而在閉區間[0，1]無界，而我們知道閉區間上的無界函數是不可積的，所以 的定積分不存在。

　　綜合上面的結果，函數在閉區間上存在定積分與存在原函數沒有必然聯系。

　　在微積分教學中，反例的試舉已成為提高教學質量的重要一環。它對培養學生的數學思維能力方面的作用是非常顯著的，它不僅是有助于學生縱向思維的培養，尤其對培養和發展橫向的思維能力具有不可缺少的作用。

　　“反例教學”要求學生開放式思考問題，激發他們的想象與聯想，讓他們學會從不同的角度不同的層次上多方位地洞察具體問題，鼓勵他們敢于大膽地想出新的觀點，新的思路，新的問題。這對于培養他們分析和解決問題的能力是十分有益的。

【微積分中的反例論文】相關文章：

微積分在經濟學中的應用論文10-09

微積分教學的體會論文10-09

反例在數學教學中的作用09-30

微積分在經濟學中的應用10-05

從微積分的發展，看微積分的教學09-30

反例與證明數學教案10-07

論文寫作中的選題論文10-09

初等微積分與中學數學10-01

建構微積分新教學體系10-01