工科研究生現代數學教學方法的若干體會論文

　　摘要：文章從現代數學的演變趨勢和特征出發，結合其對工科研究生數學課堂教學帶來的挑戰以及目前現代數學課堂教學中存在的主要問題，指出了未來工科研究生現代數學課堂教改的基本方向，并就如何更好地開展該課程教學提出了一些心得體會。

　　關鍵詞：現代數學；課堂教學；工科研究生

　　一、現代數學的演變趨勢和特征

　　多年來，伴隨著數學的不斷發展，人們難以給數學下一個確切的定義，包括其特征刻畫。恩格斯在《反杜林論》中，將數學定義為“純數學的研究對象是客觀世界的空間形式與數量關系”。空間形式即為幾何學，這在客觀上完整地概括了19世紀以前數學的對象和本質，因而被譽為“經典定義”。但是20世紀數學的大發展衍生出的許多新特征，已經不能為經典的數學定義所概括。因為現代形式的數學已成為非常抽象的學問，并且完全演變成一種無物質內容的符號系統和一定公理規則下的推演技術。數學的這種離開物質內容的特有空洞性，加上它那曲折而奧妙的邏輯推演技術，造成了數學特殊的認知難度。

　　然而，現代數學在科學技術發展中越來越展示出巨大的力量。眾所周知，它已成為物理科學的語言和設計模型以及探索自然機理的手段。同時它又是其他自然科學、工程科學、經濟科學、管理科學甚至一切應用科學與技術的不可或缺的重要工具。現代數學的這種無比廣延的普適性，也正充分地說明了它對現實物質世界無限高遠的概括性和抽象性。這種抽象性越高，越與人的感官能及的直接經驗相去甚遠，同時導致在認知上就更難，但是人們又不得不接觸它、接受它，因為它已經滲入到人類生活的一切領域。

　　二、工科研究生現代數學教學現狀、問題和挑戰

　　工科研究生現代數學教育是工科研究生教育必不可少的重要組成部分。對工科研究生的教育，必須培養其獨立解決科學技術發展中出現的理論和實際問題的能力。由于數學的應用已經直接或間接地觸及到了人類社會生活的幾乎一切領域，因此大多數工科院校的研究生課程設置里，還包括多門現代數學課程，以便學生掌握和運用數學技術。這同時也說明要培養屬于高級專門技術人才的碩士和博士，必須具備較高的數學修養和較豐富的數學知識，否則就難于在當代科技的發展中作出開創性的成果。

　　但是工科研究生現代數學課程教學效果很不理想。目前工科研究生的主要來源是工科院校本科應屆畢業生。大多數院校工科本科生的數學課程主要有“高等數學”、“線性代數”、“概率統計”，而其他的數學課程如“復變函數與積分變換”、“離散數學”等一般只作為選修課程。也就是大多數入學研究生具備的這些數學知識多數還是屬于較古典的內容，近、現代數學知識特別是接近實際應用的數學知識儲備尤為不足。在研究生階段，大部分工科院校考慮到實際的需求，給研究生開設現代數學課程呈現多樣化的趨勢，以加強他們的數學素質和修養，包括抽象思維能力和邏輯思維能力以及運用數學解決實際問題的能力，但效果并不理想。因為其中涉及的必修現代數學課程包括“矩陣論”、“泛函分析”以及“數值分析”等課程總體上仍屬于基礎理論課，其高度的抽象性和實際的應用存在較大的差距。一方面，當學生學習理論性較強的現代數學課包括分支領域時，他們往往缺乏興趣，逃課、開小差、打瞌睡的現象比較普遍；另一方面，學生不愿意學，老師也就很難提起精神認真教授對工科研究生來說非常重要的數學課了。

　　三、工科研究生現代數學課堂教學改革勢在必行

　　工科研究生的數學課堂教學是研究生直接學習和吸收數學知識的最重要的途徑。那么如何通過課堂教學使研究生更好地吸收現代數學思想和方法、提高其數學素養和運用數學工具解決問題的能力呢？筆者認為應該對現有的現代數學課堂教學方式進行改革。

　　從管理的角度來講，需要充分認識到研究生現代數學教育的重要性。一方面，在課程的設置上，既要重視培養和提高研究生的數學抽象思維能力和邏輯思維能力這一現代數學教學的基本任務，又要重視加強數學的實際應用，提高學生運用數學工具解決實際問題的能力；另一方面，要通過宣傳和思想教育，讓研究生認識到現代數學教育的重要性，使其更加積極地投入到現代數學的學習中。   對于教師而言，要不斷地創新現有的教學方法。就職業道德而言，每一位給研究生教授現代數學的教師都要認真對待每一次的課堂教學；充分發揮其主導作用，盡力安排好課堂教學內容；細心研究如何教好每一堂課，不能照本宣科，力求授課內容淺顯易懂，吸引學生的聽課興趣；特別是可以從本學科的起源、發展和走向即應用于何處來講，使學生對所學的現代數學分支領域有一個總體上的了解和把握。

　　要注重加強學生和老師之間的良性互動。一方面，鼓勵和引導學生主動提出其在專業學習過程中遇到的需要借助數學手段才能解決的實際問題，授課教師可以為其提供數學思路和方法，幫助其解決實際問題；另一方面，教師可以結合所講授的課程內容和方法為學生多搜集一些實際的應用案例，以提高學生學習的興趣、主動性和積極性。比如在學習“泛函”這個抽象的概念時，由于其原型是函數，學生接受起來相對容易。為了將該概念和實際應用結合起來，可以讓學生嚴格按照該概念，結合自己專業構造一個泛函出來。這個習題看似簡單，但學生在構造過程中，需要結合自己專業概念，先要構造一個線性空間來，然后才能在該線性空間上構造出泛函。這種方法既可以鍛煉學生思考問題的能力而且也有助于這個概念的消化和吸收。

　　四、工科研究生現代數學課堂教學的心得體會

　　前已述及，現代數學呈現出向更高級理性化方向演化的趨勢，并且更為概括和抽象，距離經驗也更遠。為了理解現代數學的本質和特征，在教學方法上應該提倡反璞歸真，不僅要了解數學的物質源泉，了解昨日的數學，還更應了解它們的演化、發展和應用。比如在講“群”這個非常抽象的代數概念時，如果直接把群的定義講給學生，學生肯定難以接受。教師可以先從學生知道的最簡單的“整數群加群”講起。首先，寫出整數加法滿足的結合律，由這里引出半群的概念；再給出整數“0”與任意整數相加都得任意整數的等式和任意整數和其相反數之和都等于“0”的等式，由此引出群的概念。通過該講解過程，學生就能了解群這個概念是一個高度抽象的概念，其原型原來就是從中小學就知道的整數集合帶上加法運算。在學生了解“群”這個概念后，可以讓他們結合自己專業構造一個群和半群的例子進一步加深對“群”的理解。

　　再如講解其他的一些抽象概念時，教師均可以從這個概念的原型或引入背景出發來講解。比如學習微分流形時，可以先講解多元映射的概念。由于多元映射的最簡單情形就是一元函數，不妨啟發學生回憶一元函數微積分的內容，并且告訴學生關于多元映射也有類似于一元函數的微積分學，而且這些微積分學在學習微分流形時也會用到。其他內容不用講，學生就明白了關于多元映射主要有哪些基本內容，可以用到哪里等等。這樣學生就理解了所學學科的發展過程，并且在這個過程中吸收了相應的數學思想及方法。這需要授課教師有很高的數學素養和專業知識，對所講學科的發展演化過程了如指掌，否則難以產生良好的效果。

　　由于數學學科的特殊性，在教法上不可能有什么“竅門”而言，只能運用和依靠專業知識和專業素養，對學生做到“細教精練”。現代數學接觸的新理論新概念特別多，這不僅要求教師在很短的幾十課時的教學中，把大量的信息和數學思想方法傳授給學生，同時還要求教師自身具有高度的概括精練能力，能夠對某個新概念的要點一語中的。比如在學習“小波分析”時，學生的數學基礎有限，泛函分析知識儲備不足，不能一上課就講小波分析的概念，可以從Fourier變換中的Fourier級數講起，因為研究生對Fourier級數應該有印象，問題是雖然學生知道Fourier級數，但也不一定知道它的真正物理含義所以必須給學生講清楚這一點，也就是Fourier級數（或Fourier變換）的“濾波”作用的實質。就“濾波”而言，教師可以從多個角度如幾何的角度、分析的角度講述，直到學生明白為止。在此基礎上，再學習小波分析原理時，就非常容易了，因此在這里花費時間講解是值得的。沿著這個要點展開，就可以自然而然地引入到小波分析上了。

　　總之，現代數學課堂教學改革勢在必行。課程的設置既要符合現代數學的發展趨勢，又要兼顧現實的發展需求；既要培養和提高學生的抽象思維和邏輯思維能力，又要加強學生運用數學工具解決實際問題的能力。在課堂教學中，應該提倡反璞歸真，不僅要了解所講學科的起源，更要了解其演化、發展和應用方向，同時加強老師自身的修養和課堂上師生間的良性互動。

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