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級數求和方法總結范文
級數求和問題是無窮級數中的重點也是難點，同時具有較強的技巧性。以下是小編整理的級數求和方法總結放棄，歡迎閱讀。
一、定義法
這是以無窮級數前n項求和的概念為基礎，以拆項，遞推等為方法，進行的求和運算。這種方法適用于有特殊規律的無窮級數。
二、逐項微分法
由于冪函數在微分時可以產生一個常系數，這便為我們處理某些冪函數求和問題提供方法。當然從實質上講，這是求和運算與求導（微分）運算交換次序問題，因而應當心冪級數的收斂區間（對后面的逐項積分法亦如此）。
有時候，所求級數的通項為另一些函數的導數，而以這些函數為通項的級數易于求和，則可將這些函數逐項求導。
三、逐項積分法
同逐項微分法一樣，逐項積分法也是級數求和的一種重要方法，這里當然也是運用函數積分時產生的常系數，而使逐項積分后的新級數便于求和。
【拓展延伸】
數列求和的方法
一、分組轉化求和法
若一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列構成，則求這個數列的前n項和Sn時可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項――重新分組――求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和
解由和式可知，式中第n項為an=n（3n+1）=3n2+n
∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）
=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）
=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）
=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2
=n（n+1）2
二、奇偶分析求和法
求一個數列的前n項和Sn，如果需要對n進行奇偶性討論或將奇數項、偶數項分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。
例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
分析：觀察數列的通項公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數列項數n的奇偶性有關，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎上利用并項求和法求的結果。
解：當n為偶數時，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2
=-n2-n2+n2+n2=n
當n為奇數時，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2
=-n2+n2+n2-n2=-n
綜上所述，Sn=（-1）nn
三、并項求和法
一個數列an的前n項和Sn中，某些項合在一起就具有特殊的性質，因此可以幾項結合求和，再求Sn，稱之為并項求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項合并求解。如例3中可用并項求和法求解。
例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002
解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）
=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050
四、裂項相消法
如果一個數列an的通項公式能拆分成兩項差的形式，并且相加過程中可以互相抵消至只剩下有限項時，這時只需求有限項的和，把這種求數列前n項和Sn的方法叫做裂項相消法。
裂項相消法中常用的拆項轉化公式有：
（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）
（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）
（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]
（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），
其中n∈N，k∈R且k≠0
例5：求數列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。
解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）
∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n
=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）
=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）
=2（1-1n+1）=2nn+1
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