數列通項公式的求法

　　下面是一篇關于數列通項公式的求法的論文,對正在寫有關數學論文的寫作者有一定的參考價值和指導作用!

　　【摘要】本文根據教學經驗結合高考題，淺談求數列題的常用策略：化歸轉化策略，數列問題常可化歸為等差(等比)數列或化歸為我們熟悉的數列問題去求解，就數列通項公式的幾種初等求法作一總結.

　　【關鍵詞】通項公式;遞推公式;求法

　　一、公式法

　　例1 數列{a?n}為等差數列，a?n為正整數，其前n項和為S?n，數列{b?n}為等比數列，且a?1=3，b?1=1，數列{b?a?n}是公比為64的等比數列，b?2S?2=64.求a?n，b?n.

　　解 設{a?n}的公差為d，{b?n}的公比為q，則d為正整數，

　　a?n=3+(n-1)d，b?n=q?n-1.

　　依題意有b?a?n+1[]b?a?n=q?3+nd[]q?3+(n-1)d=q?d=64=2?6，?

　　S?2b?2=(6+d)q=64.

　　①

　　由(6+d)q=64知q為正有理數，故d為6的因子1，2，3，6之一.

　　解①得d=2，q=8.故a?n=3+2(n-1)=2n+1，b?n=8?n-1.

　　評注 這類問題的遞推式為a?n+1=a?n+d及a?n+1=aqa?n(d，q為常數)時，可直接轉化為等差數列或等比數列從而用公式求解.

　　二、已知數列前n項和S?n求通項a?n

　　例2 設數列{a?n}的前n項和為S?n，已知a?1=a，a?n+1=S?n+3?n，n∈N?*.設b?n=S?n-3?n.求數列{b?n}的通項公式.

　　解 依題意，S?n-1-S?n=a?n+1=S?n+3?n，即S?n+1=2S?n+3?n，

　　由此得S?n+1-3?n+1=2(S?n-3?n).

　　因此，所求通項公式為b?n=S?n-3?n=(a-3)2?n-1，n∈N?*.

　　評注 這類問題往往能從題目中得到數列的前n項和S?n和通項a?n的關系式，通常

　　利用公式a?n=S?1， (n=1)?

　　S?n-S?n-1，(n≥2)求通項.用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式;另一種是“合二為一”，即將a?1和a?n合為一個表達式.

　　三、疊加法或疊乘法

　　類型1 若數列{a?n}，通項公式滿足遞推公式：a?n+1=a?n+f(n)，f(n)為可求的和.a?n=a?n-a?n-1+a?n-1-a?n-2+…+a?2-a?1+a?1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a?1.

　　類型2 若數列{a?n}，通項公式滿足遞推公式：a?n+1=a?n·f(n)，f(n)為可求的積.a?n=a?n[]a?n-1·a?n-1[]a?n-2·…·a?3[]a?2·a?2[]a?1=f(n-1)f(n-2)·…·f(1)a?1.

　　例3 在數列{a?n}中，a?1=1，a?2=2，且a?n+1=(1+q)a?n-qa?n-1，(n≥2，q≠0).

　　(Ⅰ)設b?n=a?n+1-a?n(n∈N?*)，證明{b?n}是等比數列;(Ⅱ)求數列{a?n}的通項公式.

　　解 (Ⅰ)略.

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可得

　　a?2-a?1=1，

　　a?3-a?2=q，

　　……

　　a?n-a?n-1=q?2，(n≥2).

　　將以上各式相加，得a?n-a?1=1+q+…+q?n-2，(n≥2).

　　所以當n≥2時，a?n=

　　1+1-q?n-1[]1-q，q≠1，?

　　n，q=1.

　　上式對n=1顯然成立.故通項為

　　a?n=1+1-q?n-1[]1-q，q≠1，?

　　n，q=1.

　　評注 一般地，對于形如a?n+1=a?n+f(n)類的通項公式，只要f(1)+f(2)+…+f(n)能進行求和，則宜采用此方法求解，稱之為疊加法.

　　另外，對于形如a?n+1=f(n)·a?n類的通項公式，當f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得時，宜采用此方法，稱之為疊乘法.

　　例如：已知數列{a?n}滿足a?1=1，S?n=(n+1)a?n[]2，(n∈N)，求{a?n}的通項公式.

　　析 ∵2S?n=(n+1)a?n，(n∈N)，2S?n-1=na?n-1，(n≥2，n∈N)，

　　兩式相減得2a?n=(n+1)a?n-na?n-1，∴a?n[]a?n-1=n[]n-1，(n≥2，n∈N).

　　于是有a?2[]a?1=2[]1，a?3[]a?2=3[]2，a?4[]a?3=4[]3，…，a?n[]a?n-1=n[]n-1，(n≥2，n∈N).

　　以上各式相乘，得a?n=na?1=n，(n≥2，n∈N)，又a?1=1，∴a?n=n，(n∈N?+).

　　四、構造等差數列或等比數列

　　若數列{a?n}，通項公式滿足遞推公式：a?n+1=pa?n+q，p，q為常數，p=1時為等差，q=0時為等比.當p≠1，q≠0時，有以下兩種構造形式：

　　構造1 由等式的兩邊除以p?n+1可得：a?n+1[]p?n+1=a?n[]p?n+q[]p?n+1，轉化類型1，可求其通式.

　　構造2 設存在α，使得a?n+1+α=p(a?n+α)，解得α=q[]p-1，即 a?n+1+q[]p-1=pa?n+q[]p-1，則a?n+q[]p-1以a?1+q[]p-1為首項，p為公比的等比數列，可求其通式.

　　求數列通項是學習數列時的一個難點，也是高考中的一個重點.由于求通項公式時滲

　　透了大量的數學思想方法，如邏輯方法中的歸納與演繹，類比、分析與綜合，非邏輯方法中的反思維定式等，因此求解過程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強.本文力圖通過歸納，引導讀者不僅關注一類題的解法(通法)，也要在歸納中反思數學思想方法，從而讓數學思想方法能更廣泛、深入地運用于數學學習之中.

　　【參考文獻】

　　[1]李盤喜.高中數學解題題典.長春：東北師范大學出版社，2001.

　　[2]牛德勝.中學數學1+1.南方出版社，2003.

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