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常微分方程的教學
常微分方程的教學
摘 要： 常微分方程是一門重要的數(shù)學基礎(chǔ)課，作者結(jié)合教學經(jīng)驗，對常微分方程的教學方法進行初步探討。
關(guān)鍵詞： 常微分方程 教學方法 數(shù)學建模 線性代數(shù) 微課
在自然科學和社會科學的研究中，許多現(xiàn)象及事物發(fā)展的規(guī)律都可用數(shù)學模型表示出來，而常微分方程是數(shù)學建模中最基本的工具。
同時，又是應(yīng)用數(shù)學專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課，對先修課程及后續(xù)相關(guān)課程起到承上啟下作用。
現(xiàn)我對于怎樣教好常微分方程這門課以達到該課程教學目的，提高教學質(zhì)量，談?wù)勔恍w會和看法。
一、讓學生了解常微分方程課程的特點，認識到學好該課程的重要意義。
常微分方程是學習其他數(shù)學理論后續(xù)課程的基礎(chǔ)，這些課程包括數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等。
課程本身既有嚴密的邏輯性，又有一定的應(yīng)用性，但目前高校常微分方程課程大多還停留在傳統(tǒng)教師主講形式，偏理論，輕應(yīng)用，使學生極易產(chǎn)生排斥心理。
因此，講授這門課內(nèi)容之前，教師不妨先利用一些簡單的物理、生物和化學等相關(guān)學科的模型引入，讓學生深刻認識到這門課是解決實際問題的有力工具，提高學生對課程的興趣。
二、培養(yǎng)學生的學習興趣。
教師要注意采用多種教學方法，不能為了趕教學進度直接把定義、定理、證明一一搬出來，使學生陷入枯燥的學習中，進而失去學好這門課的興趣。
因此，教師在教學過程中既要充分發(fā)揮自身的主導作用，又要讓學生積極、主動地參與到教學中。
比如，學習了二階常系數(shù)線性方程的求解后，可以引導學生根據(jù)中學時接觸過的單擺問題，先讓他們嘗試建立簡單的物理模型并加以討論，由此得到出現(xiàn)簡諧振動、共振現(xiàn)象的條件。
三、根據(jù)授課對象，對教學內(nèi)容進行適當增減，教學難度應(yīng)有所不同。
學生所學的專業(yè)對數(shù)學基礎(chǔ)的要求不盡相同，因此，教師應(yīng)該根據(jù)學生專業(yè)選擇授課內(nèi)容。
比如，若授課對象是應(yīng)用數(shù)學或數(shù)理專業(yè)的學生，則除了要求掌握常微分方程的計算技巧外，還應(yīng)強調(diào)基本數(shù)學定理的證明。
若授課對象為金融數(shù)學專業(yè)，常微分方程的作用主要體現(xiàn)在應(yīng)用上，因此教師在授課中應(yīng)側(cè)重數(shù)值計算，復雜的定理推導可以僅介紹證明思路。
此外，若教師在平時工作中注意收集相關(guān)實際案例，把這些案例引入各類專業(yè)課堂教學中，則對促進學生學習積極性提高起到至關(guān)重要的作用。
四、注意本課程與其他課程的相互滲透。
常微分方程教學內(nèi)容中，計算占了很大比例，而課程本身就是結(jié)合線性代數(shù)、解析幾何等相關(guān)數(shù)學知識解決數(shù)學理論和其他學科中出現(xiàn)的微分方程問題。
因此，教學中，除了讓學生掌握基本計算方法外，還要注意與其他課程的相互滲透。
如學習求解常系數(shù)線性方程組的基解矩陣這部分內(nèi)容時，若方程組的系數(shù)矩陣A(設(shè)為n階)恰好有n個線性無關(guān)的特征向量，則可直接利用課本上的定理寫出其基解矩陣。
此外，還可引導學生根據(jù)線性代數(shù)的知識知A可對角化，則通過可逆的線性變換必能將系數(shù)矩陣化為對角形，使得方程組的求解易于進行。
五、結(jié)合運用多媒體技術(shù)。
傳統(tǒng)的教學方法以板書為主，但是由于常微分方程這門課中定理的理論證明比較多，一味板書和講授會讓學生產(chǎn)生厭煩心理。
因此，教師應(yīng)該把傳統(tǒng)教學方式與現(xiàn)代教學手段結(jié)合起來，借助多媒體把板書內(nèi)容適當變得有趣一些。
如學習解的延拓時，可以用動態(tài)畫面把這部分內(nèi)容展現(xiàn)出來，讓學生在腦海里有較為直觀的印象，接著引導學生思考、總結(jié)方程的解向左右兩邊延拓的情形究竟如何，最后教師對學生總結(jié)出的內(nèi)容給予相應(yīng)修改、補充。
這樣教師既可以較為輕松地把抽象的定理內(nèi)容傳授給學生，又可以讓學生參與到課堂討論中。
六、將微課形式融入教學中。
近年來，微課在我國發(fā)展很快，這一新的教學形式逐漸成為教育信息化的熱點之一。
它不同于傳統(tǒng)課程，主要以教學視頻為表現(xiàn)形式，具有內(nèi)容少而精的特點。
由于常微分方程課時的限制，教師不可能將課程全部內(nèi)容都在課堂教學中呈現(xiàn)出來，而且有些較難的知識點通過教師的講授可能還有部分學生無法掌握。
因此，教師可根據(jù)課程內(nèi)容的特點，將微課適當引入教學中。
例如，講授求常系數(shù)線性方程組基解矩陣這一部分內(nèi)容時，在課堂上教師主要介紹根據(jù)空間分解理論所得的基本計算公式，至于其他計算方法，如利用約當標準形，以及利用哈密杜頓-凱萊定理的方法，教師可將其錄制成微課放在網(wǎng)上，供感興趣的學生自行學習。
這樣可以讓學生充分利用課余時間學習這門課，激發(fā)學生的學習熱情和創(chuàng)造性。
但需要注意的是，微課只是教學輔助手段，并不是所有常微分方程的知識都適合制作成微課，因此在知識點選擇上還需教師反復推敲，在教學中適當融入微課，才能達到提高教學質(zhì)量的目的。
常微分方程是一門重要的基礎(chǔ)課程，隨著科技進步，高校教師應(yīng)緊跟時代前進步伐，更好地設(shè)置教學內(nèi)容和教學模式，盡可能深入淺出地講授這門課程。
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