偏微分方程課堂實踐教學應用

時間：2022-10-05 17:48:17 數學畢業論文我要投稿

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偏微分方程課堂實踐教學應用

　　偏微分方程課堂實踐教學應用

偏微分方程課堂實踐教學應用

　　摘要：加強理論與實踐的融合，特別是在偏微分方程數值解課程教學中，通過引入實踐教學，突出高等數學的應用性，使之能夠與具體的學科生產實際相聯系，既有助于提升學生對偏微分方程的理解，還能夠從科研、工程應用前沿中來增強學習興趣，提升高等數學在實踐生活中的應用能力。

　　關鍵詞：偏微分方程;實踐性教學;應用探討

　　數學知識是豐富的、數學思想是多彩的，數學中蘊含著豐富的數學思想方法，數學思想方法是聯系知識與能力的紐帶，是數學解題的指導思想。

　　而對于數學概念的實踐性教學，將數學知識與現實世界建立關聯，是推進大學生數學應用實踐的有效途徑。

　　數學作為自然科學，其理論的產生是基于數學自身理論系統的發展。

　　如數學建模思想的應用實踐，將數學理論知識與具體的行業科學建立緊密聯系，突出數學建模在學科專業性和應用廣泛性中的作用，以解決現實問題。

　　偏微分方程是高等數學中的重要內容，在課程教學中具有較強的實際應用前景。

　　現代自然科學領域中的很多工程實踐問題，其解決方法都由數學建模來進行描述，而偏微分方程的求解方法則具有廣泛的應用。

　　本文則是通過對偏微分方程的一些闡述來講解偏微分方程在課堂實踐中的教學應用.

　　一、高等數學實踐性教學的現狀

　　強調理論與實踐的滲透一直是高等數學課堂實踐性教學的主要方向，由于教學環境的局限，對于課程實踐性內容的梳理多存在制約，尤其是理論講解過多，而實踐教學相對不足，導致學生對高等數學的論證感到繁瑣而枯燥。

　　偏微分方程數值解由于涉及較多的公式推導，學生學習積極性不夠，而對于理工類學科專業，偏微分方程在實踐應用中具有普遍性。

　　因此，要從實踐性教學環節入手，積極探索該課程與生產實踐的關聯度，加強對偏微分方程與實際應用的銜接，特別是實驗教學環節的明確，要從學科前沿發展上，融入實際案例和問題，增強學生的學習興趣，引導學生從數學推導中提升計算能力，增強科學思維能力，解決實際問題能力。

　　二、實踐性教學的必要性研究

　　從國家對高等教育改革工作的發展綱要來看，堅持教育與現代社會生產的聯系，特別是從人才培養模式上，著力從教學方法上來深化改革，強調知行合一，因地制宜的調整和優化課程實踐教學環節，突出學科理論學習與實踐課程的融合，增強學生的實踐技能。

　　理工類專業群在高等數學教學目標上，要結合自身專業設置實際，從數學基礎知識與學科專業方向上，既要關注數學基礎知識的講授，還要從學生數學思維、計算思維、計算方法等方面，強調數學知識與工程應用的聯系，特別是實踐性教學環節，要注重對各種數值方法的求解，訓練學生能夠從具體方法求解中來培養動手能力。

　　偏微分方程具有較強的理論性，對于理論知識的講授，特別是穩定性分析、收斂性分析、誤差估值分析等，涉及較多的公式推導，學生學習積極性差，通過對實踐性教學環節的設置，使之具有形象性、直觀性和動態性，提升學生解決數學實際問題的能力。

　　三、偏微分方程與實踐性教學的應用探討

　　1.注重偏微分方程與實際應用的銜接

　　從課程內容來看，偏微分方程在與生產實踐聯系上具有廣泛性，但對于具體的數值求解方法來說，因介紹較少，而學生對知識背景認知不夠。

　　如對于線性常系數偏微分方程，在探討其穩定性方面，由于，利用差商法來替換微商法，其中心格式的穩定性仍然不夠。

　　但可以將之改寫為中心差分格式，由此來得到Lax-Friedrichs穩定性數值方程;從中可知，利用，可以實現偏微分方程的數值求解穩定性，同時對于雙曲型方程也具有較高的計算準確性，便于將偏微分方程數學理論與生產實踐相聯系。

　　同樣道理，在共軛方程求解中，對于，在實際生產中應用較廣，作為二階共軛方程，將表示為溫度函數，表示為熱傳導系數，可以對熱傳導方程進行改寫。

　　從上述推導變換中，盡管數學公式本身沒有變化，但與物理問題相融合后，其意義更加廣泛。

　　我們知道，從熱傳導過程來看，對于傳導系數來說本身具有連續性，利用函數來表示更加準確，從熱傳導守恒性來看，以離散值求解方法來計算結果，與實際問題存在不符，但通過進行離散處理，可以獲得。

　　從中可知，學生在認識偏微分方程的求解疑難時，借助于對實際生產的背景介紹，從中來理解數學理論知識在實踐中的應用，增強學生的學習熱情，也提升了學生運用數學方法解決實際問題的能力。

　　2.強調實驗教學的課時比重

　　在高等數學學習中，由于計算機的應用，可以利用偏微分方程來構建數學模型，增強偏微分方程在生產實踐中的應用。

　　從數學理論來看，偏微分方程本身實踐性強，而在實驗課程教學中的課時比例相對不足，特別是學生上機學習較少，影響學生對偏微分方程數值求解方法的掌握。

　　以信息技術專業為例，在偏微分方程數值計算訓練上，可以從Fortran95數值教學平臺上來開放應用程序，結合不同的邊界條件和初值，讓學生從具體算法上來進行上機調試，分析存在的問題，并從實驗報告分析中來強調知識的實踐性。

　　借助于數學軟件教學，其目標在于：一是提升數學理論知識的可視性，特別是對于偏微分方程自身公式的推導來說，因繁瑣而影響學生的學習熱情，而直觀的數值計算軟件的應用，提升計算結果的直觀性。

　　二是從偏微分方程數值求解方法的多樣性來看，既可以從差分方法中來選擇不同的邊界條件和初值，還可以從不同的初值和邊界條件中來選擇差分方法，不同的運算結果具有相應的規律性。

　　如對于擴散方程，與之相關的邊界條件主要有、、。

　　對于該式中的不同變量的取值問題，可以從顯格式、隱格式及其他格式上來進行運算，比較其結果，學生可以從中來探討和分析偏微分擴散方程的收斂性、穩定性，以及截斷誤差變化;同時，可以根據調整不同變量的范圍，如步長等，來對比差分格式中的誤差控制;對于Richardson格式，雖精度高但實用性不強，不同格式的穩定性分析是其應用的基本前提。

　　三是從學生動手實踐中來增強解決實際問題的能力。

　　由于偏微分方程在數值求解上面臨較多的實際問題，特別是在實踐性環節設置中，針對常見的步長問題、網格點問題，以及不同求解方法的誤差等問題，需要在教師的指導下來進行綜合對比和分析，提升數學模型對生產實踐的影響。

　　另外，從不同方法的求解合理性分析上，利用檢驗方法來促進學生數學思維的養成。

　　3.強調數學理論與科研前沿問題的融合

　　從偏微分方程數值求解教學內容來看，僅僅介紹相關的數值求解方法是不夠的，還要從偏微分方程自身的理論價值，來闡釋與生產實踐的融合，特別是現代技術背景下，對于數學理論、數學思想、數學方法的研究，需要從科研前沿探討中，比較不同解決方法的差異性和適用性。

　　對于生產實踐中的不同問題，教師在課程知識選擇及具體方法的探討中，要適當滲透前沿課題及主流方法，圍繞學生學科實際，收集相關科研素材和資料，讓學生能夠從中體驗到數學知識在解決實際問題中的價值，增強學生的科研精神、數學思維。

　　教師在構建實踐性教學課堂時，可以從數學模型的抽象與分析中，介入數學軟件來構建實際問題，通過對偏微分方程不同求解方法的對比分析，來探討其解決實際問題的能力。

　　如對于有限元法的講解，與實際生產相聯系，來分析該方法的優勢，并滲透Matlab軟件，來構建具體的應用環境，增強學生對數學理論與生產實際的融合。

　　四、結語

　　與傳統大學數學教育相比，利用實踐性課堂教學不僅有助于激發大學生對數學的學習熱情，還能從數學知識、數學概念、數學定義、數學邏輯推演及計算中，增強數學應用能力，開拓大學生的數學思維。

　　正如李大潛院士所講“數學思想有助于從追求數學體系的完善上來達到數學邏輯與數學應用的嚴謹性，從而將數學構建成新的應用空間”。

　　通過對偏微分方程數值解的實踐性教學環節的探析，來加強理論與實踐的融合滲透，從不同行業來發揮數學知識的應用價值，讓學生能夠從中啟發創新精神。