一階微分方程的應用

時間：2022-10-05 23:04:56 數學畢業論文我要投稿

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一階微分方程的應用

　　一階微分方程的應用【1】

　　摘要：微分方程在實際中應用廣泛。簡單介紹了一階微分方程的幾種應用。

　　關鍵詞：微分方程;應用;研究

　　微分方程是與微積分一起形成并發展起來的重要的數學分支，它已成為研究自然科學和社會科學的一個強有力的工具.一階微分方程是我院學生必修的內容，為了激發學生們學習的興趣，讓他們覺得學有所用，下面將介紹一階微分方程在實際中的幾種簡單應用.

　　一、在力學中的運用

　　動力學是微分方程最早期的源泉之一.動力學的基本定律是牛頓第二定律F=ma，這也是微分方程來解決動力學的基本關系式.上式的右端含有加速度a，a是位移對時間的二階導數.列出微分方程的關鍵在于找到合外力F和位移及其對時間的導數――速度的關系.在求解這些問題時，要特別注意問題中的定解條件，如初始條件等.

　　例1.物體由高空下落，除受重力作用外，還受到空氣阻力的作用.在速度不太大的情況下(低于音速的■)，空氣阻力可看做與速度的平方成正比.試求出在這種情況下，落體存在的極限速度v1.

　　解：設物體質量為m，空氣阻力系數為k.又設在時刻t物體的下落速度為v，于是在時刻t物體所受到的合外力為

　　F=mg-kv2

　　由牛頓第二定律列出微分方程

　　m■=mg-kv2

　　因為是自由落體運動，所以有v(0)=0.

　　求解上述微分方程的特解即得：

　　v=■

　　當t→+∞時，有

　　v1=■=■.

　　據測定，k=aρs，其中a為與物體形狀有關的常數;ρ為介質的密度;s為物體在地面上的投影面積.

　　人們正是根據上述公式，為跳傘者設計保證安全的降落傘的直徑大小，在落地速度v1，m，a，ρ一定時，就可定出s來.

　　二、流體混合問題

　　中學數學中有這樣一類問題：某容器中裝有濃度為c1的含某種物質A的液體V升.從其中取出V1升后，加入濃度為c2的液體V2升，要求混合后的液體以及物質A的含量.這類問題用初等代數就可以解決.

　　但是在生產中還經常遇到如下的問題：容器內裝有含物質A的流體.設時刻t=0時，流體體積為V0，物質A的質量為x0(濃度顯然已知).現在以速度v2(單位時間的流量)放出流體，而同時又以速度v1注入濃度為c1的流體.試求時刻t時容器中物質A的質量及流體的濃度.

　　這類問題稱為流體混合問題，它是不能用初等數學解決的，必須利用微分方程來計算.

　　我們利用微元法來列方程.設在時刻t，容器內物質A的質量為x=x(t)，濃度為c2.經過時間dt后，容器內物質A的質量增加了dx.于是有

　　dx=c1v1dt-c2v2dt=(c1v1-c2v2)dt.

　　因為c2=■，

　　代入上式有

　　dx=(c1v1-■)dt，

　　或■=-■x+c1v1.

　　這是一個線性方程.于是求物質A在時刻t時的質量問題就歸結為求上述方程滿足初始條件x(0)=x0的特解問題.

　　例2.某廠房容積為45×15×6m3，經測定，空氣中含有0.2%的CO2.開動通風設備，以360m3/s的速度輸入含有0.05%的CO2的新鮮空氣，同時排出同等數量的室內空氣.問30分鐘后室內所含CO2的百分比.

　　解：設在時刻t，車間內CO2的百分比為x(t)%.經過時間dt后，室內CO2的改變量為45×15×6×dx%=360×0.05%×dt-360×x%×dt.

　　于是有4050dx=360(0.05-x)dt，

　　即dx=■(0.05-x)dt，

　　初始條件為x(0)=0.2.

　　將方程分離變量并積分，初值解滿足

　　■■=■■dt，

　　求出x有x=0.05+0.15e-■t.

　　t=30分鐘=1800秒代入得x=0.05.

　　即開動通風設備30分鐘后，室內CO2的含量接近0.05%，基本上已是新鮮空氣了.

　　三、牛頓冷卻定律的應用

　　牛頓冷卻定律：把溫度為T的物體放入處于常溫T0的介質中，T的變化速率正比于物體的瞬時溫度與周圍介質溫度T0之差.

　　設物體的溫度為T(t)，于是可列微分方程

　　■=-k(T-T0)，k>0.

　　例3.某小鎮發生兇殺案，法醫于下午6點到達現場，測得此時尸體的溫度為34度，1小時后又測得尸體的溫度為32度.假設室溫為常溫21度，警方經過反復排查，圈定了兩名犯罪嫌疑人張某和李某，但二人均辯稱自己無罪，并陳述了各自當日下午的活動情況：張某稱，他下午一直在辦公室，5點下班后離開;李某稱，下午一直上班，4點30分左右接到電話后離開.二人所說均被證實，從二人上班地點到案發現場只需要10分鐘，試分析兩人能否都排除嫌疑?

　　解：設尸體在t時刻的溫度為T(t)，由牛頓冷卻定律可得定解問題

　　■=-k(T-21)T(0)=34T(1)=32，

　　解得T(t)=21+13e-0.167t.

　　設死者死亡時為正常體溫37度，即T=37，由上式求出死亡時間

　　t=■・ln■≈-1.25小時.

　　由此推斷出，死者的死亡時間為6：00-1：15=4：45，即下午4：45左右，因此李某有作案時間不能排除嫌疑，張某無作案時間.

　　四、醫學中的應用

　　例4.有一種醫療手段，是把示蹤染色體注射到胰臟里去檢查其功能，正常胰臟每分鐘吸收染色的40%.現有一內科醫生給某人胰臟注射了0.3克染色，30分鐘后還剩下0.1克，試問此人的胰臟是否正常.

　　解：正常情況下，設S(t)表示注射染色體后t分鐘時人胰臟中的染色量，則每分鐘吸收的染色為■=-0.4S，本題可知S(0)=0.3，故得到定解問題

　　■=-0.4SS(0)=0.3，

　　通過分離變量法，解得S(t)=0.3e-0.4t，則30分鐘后剩余的染色量為

　　S(30)=0.3-0.4×30≈0，

　　而實際此人剩余0.1克，由此可知，此人的胰臟不正常，應該接受治療.

　　參考文獻：

　　[1]東北師范大數學系.常微分方程.高等教育出版社，2001，3.

　　[2]姜啟源，葉金星.數學模型.高等教育出版社，2004，12.

　　[3]劉增玉.高等數學.天津科學技術出版社，2009，6.

　　一階高次微分方程的求解【2】

　　【摘要】本文通過討論一階二次微分方程和一階三次微分方程的解法的相關問題，來歸納討論一階高次微分方程的求解，并給出相關的例子進行說明。主要是一階二次微分方程與一階三次微分方程有一些解法，但由于某些方法的局限性，對于某些方程不合適，所以探討一階二次微分方程與一階三次微分方程有必要。

　　本文給出了一階二次微分方程與一階三次微分方程的主要定理，主要是根據方程在極坐標變換下的求解定理，提供了求解這兩種微分方程的另一種解法跟途徑，并且也能更好地了解一階高次微分方程的求解。

　　【關鍵詞】一階二次微分方程一階三次微分方程極坐標的變換求解

　　一引言

　　微分方程是常微分方程和偏微分方程的總稱。數學上把聯系著自變量、未知函數以及它的導數(或微分)的關系式叫做微分方程。微分方程差不多是和微積分同時產生的，但它的形成和發展與力學、天文學、物理學以及其他科學技術的發展密切相關。

　　常微分方程的概念、解法以及相關理論很多。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，不過求出解的情況不多，在實際應用中多求滿足某種指定條件的特解。

　　常微分方程在很多領域內有著重要的作用，如自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機、導彈飛行的穩定的研究、化學方程過程的穩定性的研究等等，這些問題都可以化為求微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題。

　　五總結

　　一階高次微分方程的解法有很多，在這里我們給出兩種求一階高次微分方程的方法，針對不同的方程可以應用不同的方法，這樣解這類方程更為簡便些，也能進一步對高階微分方程有所認識。

　　我們在開始給出了求一階二次微分方程和一階三次微分方程在極坐標下的求解方法，通過給出它們的定義、求解方法以及對例題的分析，能對一階高次微分方程進行拓展和研究，通過特殊的求解方法后，我們又給出求一階高次微分方程的一般方法，這樣能使一階高次微分方程的解法通俗易懂。

　　參考文獻

　　[1]劉許成.一階二次微分方程在極坐標變換的求解定理[J].贛南師范學院學報，2002(6)：11～12

　　[2]劉許成.一階三次微分方程在極坐標變換的求解定理[J].安陽師范學院學報，2003(3)：6～8

　　[3]劉許成.一階三次微分方程在極坐標變換下的求解定理及應用[J].阜陽師范學院學報(自然科學報)，2002(4)：54～56

　　[4]王高雄、周之銘、朱思銘等.常微分方程(第二版)[M].北京：高等教育出版社，1984：51～56

　　[5]東北師范大學數學系.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2001：56～66

　　一階微分方程的積分因子【3】

　　摘要：積分因子法是解一階常微分方程有效的方法，本文通過查閱相關文獻，對一階常微分方程存在各種形式的積分因子的充要條件做了小結，并將這些理論推廣到一些簡單的積分因子形式。

　　關鍵詞：微分方程積分因子充要條件

　　求解一階常微分方程有常數變易法，積分因子法，積分變換法，冪級數法。由于后兩種方法運用起來比較復雜，大多數教材對后面兩種方法僅有簡單的介紹。常數變易法從給定方程對應的齊次方程得到通解從而得到原方程的解，思想巧妙，運用簡便，但就其原理理解起來覺得突兀。而積分因子法從微分方程基本原理出發，從給定方程本身就可以得到微分方程的解。

　　一：基本知識

　　1、全微分方程

　　求解一階微分方程

　　其中是單連通區域內的連續函數，且具有連續的一階偏導數。若存在某個二元連續可微函數，使得方程的左端為的全微分，則稱方程為全微分方程。

　　定理1稱微分方程為全微分方程當且僅當方程滿足條件。

　　此時存在二元連續可微函數，使得，方程通解為。

　　2、積分因子

　　當，在該區域尋找一個可微的非零函數使得方程為全微分方程，即，則稱為方程的積分因子。

　　二、積分因子的性質及形式

　　定理2方程的積分因子存在，且不唯一。設為方程的積分因子，則對任何可微函數，函數也是方程的積分因子。

　　證明：是方程的積分因子，所以，

　　定理3 為方程的積分因子充要條件為。

　　證明：為方程的積分因子，即滿足條件，展開即得。

　　定理4方程具有形如積分因子充要條件是，

　　其中僅是的函數，且

　　證明：由定理3知方程具有形如積分因子充要條件是，

　　即，

　　記，則，即 (其中，取，即得公式 )

　　三:討論幾種特殊類型的積分因子存在的充要條件

　　結論1一階微分方程具有形如的積分因子的充要條件

　　注：1、當僅與相關，即當，時，由定理4知充要條件是。當僅與相關時同理可得相應結論。

　　2、當積分因子形如時的充要條件

　　結論3一階微分方程具有形如的積分因子的充要條件

　　注：當時，則。

　　結論4一階微分方程具有形如的積分因子的充要條件

　　注：形為的積分因子充要條件是

　　結論5 一階微分方程具有一種乘積形式積分因子存在的充要條件是 + ，其中，。

　　注：形如的積分因子的充要條件是

　　結語

　　積分因子法是求解一階線性微分方程的重要方法，應用上沒有局限性，解題目的明確，而且建立在已學的數學知識之上。本文在給出積分因子法的一般結論之后，針對一些特殊類型的積分因子形式存在的充要條件進行概括，并將這些理論應用推廣到一些常見的積分因子形式，對積分因子法做了有效的歸納總結，對初學者將有很大幫助。

　　參考文獻

　　[1]丁同仁,李承治. 常微分方程教程(第二版)[M]. 高等教育出版社. 2004

　　[2]韓祥林,陳星海. 一類積分因子的存在條件及應用[J]. 高等數學研究. 2012(05)

　　[3]徐彬. 一階微分方程具有一種乘積形式積分因子的求解[J]. 黃岡師范學院學報. 2009(06)

　　[4]李榮江. 一階對稱形非恰當方程的分組積分因子法[J]. 數理醫藥雜志. 2009

　　[5]湯光榮,易其國. 對常微分方程積分因子問題的推廣[J]. 撫州師專學報. 2000(12)

　　[6]高正暉. 一階微分方程三類積分因子的計算[J]. 衡陽師范學院學報(自然科學).2002(06)

　　[7]王善維. 關于一階微分方程的積分因子問題[J]. 河北輕化工學院學報. 1997(06)

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