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總結(jié)

函數(shù)的知識點(diǎn)總結(jié)

時間:2024-07-13 07:19:25 總結(jié) 我要投稿
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函數(shù)的知識點(diǎn)總結(jié)

  臨近考試,各科都會對知識點(diǎn)進(jìn)行總結(jié),那么,以下是小編給大家整理收集的函數(shù)的知識點(diǎn)總結(jié),內(nèi)容僅供參考。

函數(shù)的知識點(diǎn)總結(jié)

  函數(shù)的知識點(diǎn)總結(jié):

  一、函數(shù)的單調(diào)性

  在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x),f′(x)在(a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.

  f′(x)≥0f(x)在(a,b)上為增函數(shù).

  f′(x)≤0f(x)在(a,b)上為減函數(shù).

  二、函數(shù)的極值

  1、函數(shù)的極小值:

  函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小,f′(a)=0,而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,則點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.

  2、函數(shù)的極大值:

  函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f′(b)=0,而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,則點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

  極小值點(diǎn),極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

  、函數(shù)的最值

  1、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.

  2、若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值.

  四、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法

  1、確定函數(shù)f(x)的定義域;

  2、求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根;

  3、把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間;

  4、確定f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號,根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性.

  五、求函數(shù)極值的步驟

  1、確定函數(shù)的定義域;

  2、求方程f′(x)=0的根;

  3、用方程f′(x)=0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間,并形成表格;

  4、由f′(x)=0根的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號來判斷f′(x)在這個根處取極值的情況.

  六、求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟

  1、求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值;

  2、求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的.函數(shù)值f(a),f(b);

  3、將函數(shù)f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.

  特別提醒:

  1、f′(x)>0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系:f′(x)>0能推出f(x)為增函數(shù),但反之不一定.如函數(shù)f(x)=x3在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件.

  2、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),即f′(x0)=0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件.例如函數(shù)y=x3在x=0處有y′|x=0=0,但x=0不是極值點(diǎn).此外,函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).

  3、可導(dǎo)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況,是在局部對函數(shù)值的比較;函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況,是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較.

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