微分幾何教學嘗試

時間：2022-10-05 22:43:12 數學畢業論文我要投稿

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微分幾何教學嘗試

　　微分幾何教學嘗試【1】

微分幾何教學嘗試

　　摘要：微分幾何是運用微積分的理論研究空間的幾何性質的數學分支學科。

　　文中基于微分幾何教學實踐，倡導依據不同的教學內容、教學時間采用不同的教學方法與模式。

　　舉例說明信息技術促進微分幾何教學理解，嘗試、期盼信息技術優勢與傳統教育模式的深度融合，努力進行敏捷的全要素配合，力求更好地傳遞出正能量。

　　通過“簡化”微分幾何的知識結構，“美化”微分幾何教學，加強知識的橫向與縱向類比與對照，以期在為學生們提供優質服務的同時實現教學質量的提高。

　　關鍵詞：微分幾何教學模式教學方法教學質量

　　微分幾何是微積分在幾何中的應用。

　　求曲線在一點的切線，相當于求函數在一點的微分，而要給出閉曲線所圍區域的面積，就歸結為求積分，但是物理世界的曲線、曲面是異常復雜的，反過來又向整個數學提出許多重大問題。

　　作為微分幾何學入門的本科微分幾何課程，充分展示著數與形的奇妙結合，成為學生了解近代數學發展的一個有效途徑，是學習更高級知識的橋梁，其在學生的數學能力培養、思維品質提高以及后續高級課程學習等方面都具有重要作用。

　　為了提升微分幾何的教學質量，努力進行全要素配合，力求更好地為學生服務。

　　挖掘、整合微分幾何的知識內涵，“簡化”微分幾何的知識結構，多角度、多形式、多層面地梳理微分幾何的知識框架，突出其間的幾何與分析特征，加強知識的橫向與縱向類比與對照;“美化”微分幾何教學，把相關知識進行深層加工和梳理，以易于被學生認識與接受的審美信息形式呈現給學生，讓學生學會發現美、體會美，喚起學生的靈動感與主動性，激發學生健康向上的數學審美意識，巧妙降低課程的枯燥程度，提高學生對微分幾何的認識，以提升微分幾何的教學效果。

　　1 教學過程、教學方法與模式

　　教學過程中力求多種教學模式、教學方法的靈活交替或轉換。

　　依據教學內容、教學時間的不同采用不同的教學方法與模式。

　　如，國慶臨放假前的那次課，設計一堂復習課，實現全覆蓋新學期以來的知識點，稍稍重視一下趣味性，同時采用互動的形式完成課堂內的練習，可以說足以讓愿意投入其中的學生們在小長假之后對那時課程的主要內容絕對留有較深的印象。

　　又如，活動標架的建立往往需要鋪墊的時間多一點，教師需要做的也要耐心細致點。

　　但在學習基本三棱形之后，伏雷內公式的導出完全可以交由學生來做。

　　雖然學生們對向量的數量積、向量積和混合積等算不上熟練，但只要加以引導，自己推導的效果比教師推理的好很多，而且正好有利于學生將來更好地運用向量的運算和導出的公式，隨后欣賞起其間的反對稱美來也更具自豪感。

　　作為愉快教學方式的擁戴者，我們也進行了相關嘗試。

　　一般選擇輕音樂，播放時間則往往是課間或者音樂伴隨圖片展示飄出。

　　幾何自然是與圖形不分離的。

　　大自然中攀緣植物的形態、上海中心大廈的螺旋梯等讓我們學習起圓柱螺線來更覺得踏實。

　　憑著信息社會的優越，依靠網絡，我們不僅能欣賞生物化學的DNA雙螺線圖形;而且還能全方位感受與DNA結構相似的世界上首座曲線橋，新加坡的螺旋人行天橋，那充溢著未來感的設計無疑讓觀者感受到幾何的生命力。

　　微分幾何無時無處不在向人們展示著其巨大的魅力。

　　生活的世界中，存在著各種各樣的光滑曲線和曲面，以及眾多的賞心悅目的藝術幾何造型。

　　我們當然不能忽略它們的作用。

　　為了更好地理解曲面，結合線上線下實際，我們展示了一些著名的標志性建筑，其中涉及迪拜大廈、臺北的國際金融中心大廈、上海的中心大廈與金茂大廈、深圳的帝王大廈;馬來西亞首都吉隆坡的雙子塔、在建的武漢CBD雙子塔、正在興建的廈門雙子塔的設計圖、珠江新城中帶有遺憾的建筑――中軸線上不對稱的廣州“雙子塔”、毀于“911”的紐約雙子星。

　　對于重要的概念，如曲率，正常教學之外，我們提及了激光近視手術。

　　或許因為班上近視的同學不少，學生們對它的興趣遠超出想象，比起講述那是研究靜電場中某些問題的一個有力工具吸引力大多了。

　　又如，關于切觸這個概念，我們談起鞋的磨腳問題，聊起了后跟貼等。

　　原來，微分幾何真的離我們很近很近。

　　體會“數”與“形”的巧妙結合，“理論”與“應用”的有機結合，自然有利于促進學生們在邏輯思維能力與直覺思維能力的全面發展。

　　當然，正常的教學要求、教學內容也是不能忘的。

　　簡單而言，教學內容就是如下兩個基本問題。

　　正問題：曲線/曲面特征指標內蘊量;

　　反問題：基本不變量曲線/曲面的設計與構造曲線/曲面基本定理。

　　問題、知識都是由人發現的。

　　相關科學家自然也不能被忽略。

　　歐拉、蒙日、高斯、黎曼、克萊因、嘉當;蘇步青、陳省身、谷超豪、胡和生、李安民……微分幾何無疑有著悠久的研究歷史、曲折的發展過程。

　　在教學中，我們也注重學科發展簡史、重要歷史人物和重要歷史進程的簡介。

　　介紹知識點結合與之相關的數學家及其成就，以及有關理論在歷史上的發展情況，幫助學生了解國內國際微分幾何學以及微分幾何學者們的成長與發展;開闊知識面、增加學習的興趣、體會各知識點所傳遞的思想以及它們之間的有機聯系。

　　而且，許多數學家曲折的人生經歷、孜孜以求的科研奮斗精神，無疑會對學生產生積極的人格影響。

　　因此，若聯系新常態，這必然會促進學生們在知識與技能、情感態度與價值觀等方面的和諧發展。

　　教學過程中，我們也力求實現學科間的橫向溝通與縱向聯系，實現信息技術優勢與傳統教育的深度融合，努力構建以學生為中心的教學模式。

　　因而努力抓常、抓細，力求持久地抓住知識信息間的聯系。

　　鼓勵學生運用Matlab、Maple等軟件進行學習，希望能更上一層樓。

　　參考文獻

　　[1] 孫和軍，趙培標，陳大廣.微分幾何的教學地位與方法[J].高等數學研究，2011，14(1)：101-103.

　　[2] 王韶麗.《微分幾何》的愉快教學方式探究[J].邢臺學院學報，2012，27(2)：168-169，172.

　　[3] 符和滿.淺談《微分幾何》的教學方法[J].數學教學研究，2013，32(5)：66-68.

　　[4] 梅向明，黃敬之.微分幾何[M].4版.北京：高等教育出版社，2008.

　　[5] 趙寶明，李培廉.靜電場理論中微分幾何方法的一個應用[J].數學的實踐與認識，2010，40(16)：199-202.

　　[6] 李大潛，華宣積.蘇步青與中國微分幾何學派[J].高等數學研究，2013，16(2)：1-6.

　　[7] 陳維桓.關于在大學數學教學中加強幾何教學的幾點意義[J].高等數學研究，2002，5(4)：5-8.

　　數學專業學生學習微分幾何的困因及教學策略【2】

　　摘要：微分幾何是數學專業一門重要的專業課程，它對于逐步提高幾何思維和空間想象能力和一定的計算證明能力起到了一定的促進作用，然而學生學習微分幾何存在學習困惑。

　　通過詳細分析數學專業學生學習微分幾何的困因，提出了一定的改變現狀的教學策略。

　　關鍵詞：數學專業學生;微分幾何：困因;教學策略

　　1 引言

　　微分幾何是綜合性大學數學系各專業重要的專業課，也是應用性很強的一門數學課程。

　　微分幾何課的目的一方面使學生鍛煉空間想象能力和抽象思維能力，以便為以后進一步學習、研究現代幾何學打好基礎，另一方面培養學生理論聯系實際和分析問題、解決問題的能力。

　　然而學生學習微分幾何存在學習困惑。

　　解決學生學習該課程的困惑有重要的現實意義。

　　本文通過詳細分析數學專業學生學習微分幾何的困因，提出了一定的教學策略，為數學專業學生學習微分幾何課程提供一點學習參考，以及針對教學提供一些教學建議。

　　2 數學專業學生學習微分幾何的困因

　　2.1 對微分幾何學習存在認識的偏見

　　微分幾何是微積分原理滲透到空間幾何知識和理論形成的專業課程，鑒于其幾何的知識背景，課程內容會涉及很多不同的概念，這些概念的計算公式也會相應呈現。

　　因此，當學生學習到一定的時候，會認為只要記住公式就能懂得解題的方式。

　　往往會把中學時候的初等幾何的學習方法融入到微分幾何的學習中，片面地認為公式是貫穿整個知識的主要問題，從而不能擺脫以記憶公式為主的學習幾何的學習方式。

　　另外，微分幾何知識中存在一些復雜的空間幾何問題，因為空間幾何更多的穿插著很多不規則的曲線和曲面，鑒于個人的空間想象能力的局限，就會產生學習困惑，以至于傾向于單純的知識和公式的記憶模式。

　　2.2 習題訓練缺乏主動性和積極性

　　微分幾何的內容中充斥著很多需要計算和解答的問題，這就需要學生動手進行認真的演算。

　　然而，由于學生對學習存在認識的偏見，往往有些學生懶于動手演算，他們認為只要記住公式，計算一般不會有問題。

　　他們忽略了重要的問題就是，有些沒有發現的問題往往存在于計算和推演的過程中。

　　數學的學習在某種程度上告訴我們，發現問題有時候比解決問題更重要。

　　因此，只有動手認真演算，才能發現一個計算問題可能會牽扯到哪些相關學科的知識，或是存在什么樣的難點和疑問。

　　而這樣的學習方式在課堂教學和課后的作業中被淡化了。

　　學生對習題訓練更多是缺乏主動性和積極性。

　　2.3 課堂教學中提問呈現的思維惰性

　　在課堂教學中，教師引導解決一個微分幾何問題。

　　比如：給出一定的條件，求解動點的軌跡。

　　學生往往不知道條件如何進行有效地整合。

　　這就顯示出所學知識的模糊，以及思維的惰性。

　　當遇到困惑時，短時間的思考不能形成有效的求解方式，此時學生就會凸顯出思維的惰性，即不愿意再過多地去思考條件與所求問題之間的關聯。

　　對于一個問題的思考，往往不知道思考的出發點是什么，如何去找。

　　對問題的困惑的認知程度就會逐步形成思考和學習的困惑，久而久之就會潛意識地形成思維的惰性，阻礙學生的思維積極性。

　　3 教學策略與方法

　　3.1 突出傳授數學思想和學習方法

　　突出傳授數學思想和數學方法。

　　了解學生學習特點和困難，注重引導和啟發，讓學生盡早地更多地掌握數學的思想和方法。

　　在課堂教學中盡可能把握微分幾何各種內容之間的內在聯系，揭示課程學習的主要問題。

　　把數學中的各種數學思想方法融合到教學方式和教訓內容中，激發學生的空間想象能力和對所學知識的領悟能力。

　　微分幾何突出的是應用微積分的原理去解決空間幾何問題的一種方式，因此，在教學中要不斷回顧微積分所學知識的一般原理，引導學生整合有效的資源，循序漸進地學習微分幾何的相關知識，提高個人的學習能力和思維能力。

　　3.2 加強有效的課堂教學互動

　　通過有效地互動的課堂教學，刺激學生的學習興趣。

　　課堂上對于微分幾何知識和問題的有效探討，可以調動學生的學習積極性，比如：針對空間基本三棱形得到的密切平面、法平面和從切平面，在求解各自方程時候，不僅要講解平面的平面的構造，更要引導學生理解構造的方式，即如何構造，為什么要這樣構造。

　　只有理解這些問題，然后進行方程的推導，得到同一平面的不同的求解方程，促進學生理解各類方程的推導原理，而不是單純記憶相應的公式。

　　一方面，學生在互動中理解了課堂內容和求解問題的方法，另一方面調動了學生學習微分幾何的積極性，提高了學生的理解能力。

　　3.3 注重學生學習的引導和啟發

　　在教學中要始終抓住基本概念、基本理論、基本方法和基本技巧，重視課堂互動并引導學生分析問題，注意培養學生的獨立思考能力。

　　結合以前所學的數學分析、解析幾何、復變函數以及中學所學知識(如平面幾何、立體幾何、平面解析幾何)，引導學生比較與區別，促使學生將抽象的微分幾何知識滲透到其它數學知識中，�畝�起到啟發學生深入思考的效果。

　　微分幾何主要有曲線論和曲面論兩大內容，在教學中，要不斷引導學生注重在學習微分幾何知識的過程中，盡可能理解相關概念定義的來源及其構造。

　　面對眾多的知識點和方程、定理和公式，只有理解相關原理，才能有效把握這些問題的實質，從而促進真正有效的記憶。

　　參考文獻

　　[1] 梅向明，黃敬之.微分幾何[M].高等教育出版社， 2011： 39-40.

　　[2] 陳鼎興.數學思維與方法――研究式教學[M].南京：東南大學出版社，2011：61-62.

　　教學在常微分方程教學中的新嘗試【3】

　　摘要：本文對通過興趣小組參與課堂的各個環節進行的討論式教學在常微分方程教學中的運用，進行了探索和新的嘗試。

　　關鍵詞：討論式教學興趣小組教學模式

　　近幾十年來，動力系統及非線性科學的迅猛發展，通過數學建模的方式，將數學知識應用到社會實踐中，極大地推動了支撐國家命脈的各個行業――力學、物理、電力工程、機械工程、通訊工程、天文學、航空航天技術等――的發展。

　　常微分方程作為對動力系統及非線性學科起到奠基性作用的基礎學科，在這一理論指導實踐的過程中，起到了極為重要的基礎性作用。

　　關于常微分方程這門課程，社會對我們提出了新的應用方面的要求，就促使我們不能僅僅停留在對理論的講授上，更加不能讓學生刻板地接受知識，而是要通過教學模式的改革，提高學生的自學能力、創新能力及團隊協作等能力的培養。[1]

　　一、傳統的教學模式

　　首先，從教師的角度來講，傳統的教學模式――備課，授課，課后反思，課后輔導;從學生的角度來講，傳統的學習模式――預習，聽課，復習鞏固，作業。

　　這些環節中的關鍵是授課和聽課，傳統的教學模式中，授課者在作為個體單獨地講，聽課者作為個體在單獨地聽，互動多為個別提問及眼神的交流。

　　講課的老師辛苦，聽課的學生感覺到的卻可能是枯燥乏味，課堂效果可想而知。

　　其次，傳統的教學手段――粉筆加黑板。

　　對于數學專業的課程來說，板書的效果是非常好的，因為在板書的過程中，事實上融入了思考的元素。

　　但是，板書的確浪費了大量的時間。

　　所以，適當地正確地適用多媒體，可以既節省時間，又不破壞板書在數學課程教學中所起到的不可磨滅的良好作用。

　　1.討論式教學模式

　　2.討論式教學

　　從教師的角度來講，討論式教學模式――備課(增加興趣小組課堂及課后討論題目的確定)，課講(正式開課前幾分鐘，由興趣小組成員或其他感興趣的同學講題，教師給予相應指導)，授課(增加師生討論、生生討論環節)，興趣小組討論題的布置，課后反思(增加對課堂討論效果、討論時間、討論方式等方面的反思)，課后輔導(增加對興趣小組討論題的指點、提示及指導)。

　　從學生角度來講，討論式教學模式――興趣小組討論題目的資料查閱及討論，預習，興趣小組成員課前講題(其他同學可以參與討論，時間控制在十分鐘之內)，聽課(改單獨聽課的習慣為課堂討論)，復習鞏固，作業，興趣小組題目的討論。

　　2.1興趣小組的建立

　　作為普通本科院校的數學系，數學專業學生的數學基礎參差不齊，同時由于招生時調劑因素進入數學專業的學生大有人在，所以很難保證所有學生都對數學興趣濃厚，這就對從事數學專業課程教學的老師，當然包括常微分方程老師提出了更高的要求――如何可以使對數學興趣不夠濃厚，數學分析基礎又不是很好的同學學好常微分方程。

　　對此，我們在建立興趣小組方面，做了一些新的嘗試，效果還是明顯的。

　　興趣小組，就是將對數學感興趣以及數學基礎比較扎實的同學，聚在一起，分成小組的分組方式。

　　通過興趣小組成員更多地參與到課堂及課后討論中，帶動更多的同學參與到討論中來，從而提高教學效果。

　　從某種意義上講，討論式教學的核心就是興趣小組成員參與并帶動教學。[2]

　　2.2討論式教學模式下，各個環節的正常運行

　　2.3課前十分鐘

　　對上次課老師所留興趣小組討論題目進行講解，同時接受同學們的提問。

　　作為教師，一方面要認真聽講，以免錯過學生講錯并及時訂正，另一方面，要調動大家的積極性，既調動大家積極參與講解，又調動大家積極參與思考和討論。

　　2.3.1課堂教學環節

　　課堂教學中，對于新的概念及理論，講解的過程中增加互動，調動學生參與課堂教學。

　　每一小段落，都給學生留幾分鐘的時間，相互討論總結剛才所講內容的思路脈絡，及時發現問題并解決問題，盡可能早并徹底的消化課堂內容。

　　為了提高這種討論的效果，要將興趣小組成員分散到課堂的各個角落。