數(shù)學(xué)充分必要條件的判斷技巧

　　對于必要條件和充分條件的判斷，許多學(xué)生感到困難。左側(cè)推出右側(cè)，左側(cè)為充分條件，右側(cè)為必要條件。下面是一個典型的例子來說明判斷充要條件的一般方法，供大家參考。

　　數(shù)學(xué)充分必要條件的判斷技巧1

　　一、借助于“推出方向”理解充分條件與必要條件。

　　若pq,則下列說法等價:p是q的充分條件,q是p的必要條件。若pq,則稱p與q互為充要條件,或p的充要條件是q,或q的充要條件是p。

　　例1、若A、B都是C的充要條件,D是A的必要條件,B是D的必要條件,則D是C的()

　　A充分不必要條件B必要不充分條件

　　C充要條件D既不充分也不必要條件

　　解:可用“推出方向”解。

　　由已知:AC,BC,AD,DB,可以推出D與C的關(guān)系:由DB,BC,得DC;由CA,AD,可得:CD。

　　∴CD,即D是C的充要條件。

　　二、借助子集的概念理解充分條件與必要條件。

　　若將命題p、q看成集合,當(dāng)pq時,p是q的充分條件,q是p的必要條件。這里可以用“小范圍推出大范圍”幫助記憶。

　　例2、(1)若p:x>1,q:x≥5,則p是q的條件。

　　(2)若p:(x-1)(x-2)=0,q:x=2,則q是p的條件。

　　解:從集合角度考慮:(1)中有qp;(2)中有pq。根據(jù)“小范圍推出大范圍”知:(1)的p是q的必要但不充分條件;(2)中的q是p的充分但不必要條件。

　　三、借助原命題與其逆否命題為等價命題理解充分條件與必要條件。

　　例3、若p:x≠1,若y≠2,q:x+y≠3,則p是q的條件。

　　解:考慮其逆否命題:q:x+y=3,p:x=1且y=2,顯然有:pq。

　　∴qp。即p是q的必要但不充分條件。

　　總之,A能推出B，說明A是B的充分條件，同時B是A的必要條件;B能推出A，說明B是A的充分條件，同時A是B的必要條件;A能推出B，同時B也能推出A，說明A是B的充分必要條件(簡稱充要條件)同時，B也是A的充要條件。只要同學(xué)們能夠熟練運(yùn)用以上辦法進(jìn)行充要關(guān)系的判斷,必定能收到良好的效果。

　　數(shù)學(xué)充分必要條件的判斷技巧【2】

　　判斷充分與必要條件的方法

　　一、 定義法

　　可以簡單的記為箭頭所指為必要，箭尾所指為充分。在解答此類題目時，利用定義直接推導(dǎo)，一定要抓住命題的條件和結(jié)論的四種關(guān)系的定義。

　　例1 已知p:-2

　　分析 條件p確定了m，n的范圍，結(jié)論q則明確了方程的根的特點(diǎn)，且m，n作為系數(shù)，因此理應(yīng)聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，然后再進(jìn)一步化簡。

　　解 設(shè)x1，x2是方程x2+mx+n=0的兩個小于1的正根，即0

　　而對于滿足條件p的m=-1，n=，方程x2-x+=0并無實(shí)根，所以pq.

　　綜上，可知p是q的必要但不充分條件。

　　點(diǎn)評 解決條件判斷問題時，務(wù)必分清誰是條件，誰是結(jié)論，然后既要嘗試由條件能否推出結(jié)論，也要嘗試由結(jié)論能否推出條件，這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷。

　　二、 集合法

　　如果將命題p，q分別看作兩個集合A與B，用集合意識解釋條件，則有：①若A?哿B，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件;②若A?芴B，則x∈A是x∈B的充分不必要條件，x∈B是x∈A的必要不充分條件;③若A=B，則x∈A和x∈B互為充要條件;④若A?芫B且A?蕓B，則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件。

　　例2 設(shè)x，y∈R，則x2+y2<;2是|x|+|y|≤的條件，是|x|+|y|<;2的條件。

　　A. 充要條件 B. 既非充分也非必要條件

　　C. 必要不充分條件?搖D. 充分不必要條件

　　解 如右圖所示，平面區(qū)域P={(x，y)|x2+y2<;2}表示圓內(nèi)部分(不含邊界);平面區(qū)域Q={(x，y)||x|+|y|≤}表示小正方形內(nèi)部分(含邊界);平面區(qū)域M={(x，y)||x|+|y|<;2}表示大正方形內(nèi)部分(不含邊界)。

　　由于(，0)?埸P，但(，0)∈Q，則P?蕓Q.又P?芫Q，于是x2+y2<;2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件，故選B.

　　同理P?芴M，于是x2+y2<;2是|x|+|y|<;2的充分不必要條件，故選D.

　　點(diǎn)評 由數(shù)想形，以形輔數(shù)，這種解法正是數(shù)形結(jié)合思想在解題中的有力體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合不僅能夠拓寬我們的解題思路，而且也能夠提高我們的解題能力。

　　三、 逆否法

　　利用互為逆否命題的.等價關(guān)系，應(yīng)用“正難則反”的數(shù)學(xué)思想，將判斷“p?圯q”轉(zhuǎn)化為判斷“非q?圯非p”的真假。

　　例3 (1)判斷p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么條件;

　　(2) 判斷p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么條件。

　　解 (1)原命題等價于判斷非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么條件。

　　顯然非p非q，非q非p，故p是q的既不充分也不必要條件。

　　(2) 原命題等價于判斷非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什么條件。

　　因?yàn)榉莗?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分條件。

　　點(diǎn)評 當(dāng)命題含有否定詞時，可考慮通過逆否命題等價轉(zhuǎn)化判斷。

　　四、 篩選法

　　用特殊值、舉反例進(jìn)行驗(yàn)證，做出判斷，從而簡化解題過程。這種方法尤其適合于解選擇題。

　　例4 方程ax2+2x+1=0至少有一個負(fù)實(shí)根的充要條件是

　　A. 0

　　解 利用特殊值驗(yàn)證：當(dāng)a=0時，x=-，排除A，D;當(dāng)a=1時，x=-1，排除B.因此選C.

　　點(diǎn)評 作為選擇題，利用篩選法避免了復(fù)雜的邏輯推理過程，使解題方法更加優(yōu)化，節(jié)省了時間，提高了解題的速度，因此同學(xué)們應(yīng)該注意解題方法的選擇使用。

　　五、 傳遞法

　　充分條件與必要條件具有傳遞性，即由P1?圯P2，P2?圯P3，…，Pn-1?圯Pn，可得P1?圯Pn 。同樣，充要條件也有傳遞性。對于比較復(fù)雜的具有一定連鎖關(guān)系的條件，兩個條件間關(guān)系的判斷也可用傳遞法來加以處理。

　　例5 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q的

　　A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

　　C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

　　解 由題意可得p?圯r，r?圯s，s?圯q，那么可得p?圯r?圯s?圯q，即p是q的充分不必要條件，故選A.

　　點(diǎn)評 對于兩個以上的較復(fù)雜的連鎖式條件，利用傳遞性結(jié)合符號“?圯”與“”，畫出它們之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行判斷，可以直觀快捷地處理問題，使問題得以簡單化。

　　1. 求三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實(shí)根的充要條件。

　　1. 三個方程均無實(shí)根的充要條件是

　　Δ1=16a2-4(-4a+3)<;0，Δ2=(a-1)2-4a2<;0，Δ3=4a2-4(-2a)<;0.

　　數(shù)學(xué)充分必要條件的判斷技巧2

　　請檢查以下問題：1、借助“晉升方向”了解必要和充分的條件。

　　如果是PQ，則下列語句等價：P是Q的充分條件，Q是P的必要條件；如果PQ，則P和Q是相互充要條件，或P的充要條件是Q，或Q的充要條件是P.

　　例1、如果a和B都是C的充要條件，D是a的必要條件，B是D的必要條件，那么D是a（）

　　C的充要條件，B是C的充要條件a

　　C的充要條件D既不充分也不必要

　　解：解可以通過“推動方向”獲得。

　　從已知的AC，BC，ad，DB，我們可以推導(dǎo)出D和C之間的關(guān)系：從DB，BC，DC；從Ca，ad可以得到CD。

　　//CD，即D，是C.

　　2的一個充要條件。借助子集的概念，我們理解了C.

　　2的充要條件。

　　如果把命題P和Q看作集合，當(dāng)PQ，P是Q的充分條件，Q是P的必要條件，這里可以用“小范圍推大范圍”來幫助記憶。

　　例2、（1） 如果P:x1，Q:X≥5，那么P是Q.

　　（2）如果P:（X-1）（X-2）=0，Q:X=2，那么Q是P.

　　解的條件：從集合的角度來看：（1）有QP in；（2）有PQ in。根據(jù)“小范圍推大范圍”的思想，我們知道：（1）P of是Q的一個必要條件，但不是充分條件；（2）qin是P的一個充要條件。3、借助于原命題及其逆否定命題，我們可以理解其充要條件。

　　如果P:X≠1，如果y≠2，Q:X+y≠3，則P是Q.

　　解的條件：考慮其逆無命題：Q:X+y=3，P:X=1，y=2，顯然存在：PQ。

　　∴qp，即P是Q的一個必要條件，但不是充分條件。

　　簡言之，a可以推導(dǎo)出B，即a是B的`充分條件，B是a的必要條件；B可以推導(dǎo)出a，說明B是a的充分條件，a是B的必要條件；a可以推導(dǎo)出B，B也可以推導(dǎo)出a，表示a是B的充要條件（簡稱充要條件），B也是a的充要條件，只要學(xué)生能熟練地運(yùn)用上述方法來判斷充要關(guān)系，就能收到很好的效果。

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