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周期函數研究論文
周期函數研究論文，函數的周期性是函數的重要性質之一，也是學習三角函數的難點。
周期函數研究論文【1】
摘 要 函數的周期性是函數的重要性質之一，也是三角函數這章的難點。由于高中教材對這一性質的介紹因精而簡，不利于學生的深刻理解與掌握，文章擬做一些解說。
關鍵詞 重復出現;周期函數;定義;周期求解
一、周期函數的引入
眾所周知，世界上的萬事萬物都在不停地運動、變化，其中又有很多事物都按照一定規律運動、變化。“離離原上草，一歲一枯榮”，即描寫了因地球的自轉、公轉而引起的寒暑易節重復出現的規律。與此類似，有些函數也有這種現象，起函數值按照一定規律不斷重復出現，如函數y=sinx、y=cosx等。周期函數就是研究這種函數按照一定規律不斷重復出現的。
二、周期函數定義剖析
人教版高中教材對周期函數的定義是：一般地，對于函數y=f(x)，如果存在一個不為0的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把這個函數y=f(x)叫做周期函數，不為0的常數T叫做這個函數的周期。
(1)定義中的“每一個x”即函數定義域內的所有x都有f(x+T)=f(x)成立才行。這里只要有一個x不能使該關系成立，則T就不是f(x)的周期。如函數y=sinx(x≠0)，由于f(2π)=0， f(0)沒有意義，∴f(2π+0)≠f(0)，∴T=2π就不是函數y=sinx(x≠0)的周期。事實上，由于f(0)沒有意義，所以就不存在這樣的常數T≠0，使得f(0+T)=f(0)成立，所以函數y=sinx(x≠0)就不是周期函數。
(2)關系式f(x+T)=f(x)隱含這樣一個事實：若x是f(x)定義域內的任一個值，則x+T一定是該定義域中的一個值，同時(x+T)+T還是該定義域中的一個值。以次類推，x+nT是定義域中的一個值……，所以周期函數的定義域一定是“無限的”，象函數y=sinx，x∈(-4π，4π)就不是周期函數。
(3)周期函數的定義域是“無限的”，不是說其定義域一定是一切實數，只是說其定義域不能受某一數“限制”。有些周期函數的定義域就是無數個區間的并，如y=tgx的定義域就不是一切實數;又有些周期函數的定義域為無數個零點，如y=的定義域為x=kπ(k∈Z)。
(4)若有f(x+T)=f(x)，用x-T代換x 得f(x)= f(x-T)，用用x-T代換x 得f[(x+T)+T]=f(x)f(x+T)=f(x)成立，即f(x+2T)=f(x);同理還可得f(x+3T)=f(x)，以次類推，并依定義可知：若f(x)的周期為T，則-2T，-T，T，2T，3T，…，nT，…全部是f(x)的周期，即周期函數的周期應為無數多個，如y=sinx的周期有：…，-4π，-2π，2π，4π，6π，…
(5)在周期函數f(x)的無數個周期中，若有最小的正數，則稱該周期為最小正周期。我們通常所指的周期為最小正周期。但有些周期函數就沒有最小正周期，如f(x)=sin2x+cos2x，因為對于任意不為0的常數T，都有f(x+T)=f(x)=1，所以該函數沒有最小正周期。
三、求周期函數的周期
常見的周期函數主要是三角函數或由三角函數和其它簡單函數復合而成的函數。
周期函數的周期性在題解中的應用【2】
摘 要： 周期函數在定義域內的形態是周期變化的，所以在解決周期函數的有關問題時，常利用它的周期性解題.
關鍵詞： 周期函數 題解 應用 周期性
設f(x)是定義在某一數集D上的函數，若存在一常數T(T≠0)，具有性質：(1)?坌x∈D，有x±T∈D;(2)?坌x∈D，有f(x±T)=f(x).那么稱T為f(x)的一個周期.如果所有正周期中有一個最小的，稱它為函數f(x)的最小正周期.
一、求函數的周期
引理1：若周期函數f(x)有最小正周期T，則kf(x)+c(k≠0)，1/f(x)也有最小正周期T;函數f(ax+b)(a≠0)有最小正周期T/|a|.
例1.求y=tgx+ctg2x的最小正周期
分析：將函數解析式化為只含有一個三角函數式的形式，再求最小正周期.
解：y=tgx+ctg2x=sinx/cosx+cos2x/sin2x=cos(x-2x)/cosxsin2x=1/sin2x
函數y=sinx的最小正周期為2π
函數y=sin2x的最小正周期為π
函數y=1/sin2x的最小正周期為π
故函數y=tgx+ctg2x的最小正周期為π
由例1可知解這類問題的一般方法是將解析式化為只含有一個三角函數的形式，通過三角函數的周期，求所給函數的周期.
二、求函數的定義域
引理2：若f(x)有最小正周期T，則f(x)的任何正周期T一定是T的整數倍.
例2.求函數y=1/(1+tgx)的定義域
分析：分式有意義的條件是分母不為零，還要注意正切函數本身要有意義.
解：要使函數y=1/(1+tgx)有意義，則1+tgx≠0且x≠kπ+π/2(k∈Z)
要使1+tgx≠0即tgx≠-1，
又∵函數y=tgx的周期是π
∴在(-π/2，π/2)內，x≠π/4
∴x≠kπ+π/4(K∈Z)
故函數y=1/(1+tgx)的定義域為{x|x∈R，且x≠kπ+π/4，x≠kπ+π/2，k∈Z}.
因為周期函數在定義域內形態呈周期變化，所以研究這種函數時，不必分析其整個定義域內的情況，而只需在一個定義域內討論特解.
引理3：如果f(x)是g(x)定義在同一個集合M上的周期函數，周期分別為T和T，且T/T=a，而a是有理數，則它們的和、差、積也是周期函數，且T和T的公倍數為其一個周期.
三、求函數的極值
例3.求函數y=1+sinx+cosx+sinxcosx的最大值
解：設函數y=sinx+cosx，y=sinxcosx
∵y=sinx+cosx=cos(x-π/4)
∴y的周期是T=2π
∴當x=2kπ+π/4(k∈Z)時，y有最大值
有∵y=sinxcosx=sin2x/2，y的周期T=π
∴當x=kπ(k∈Z)時，y有最大值1/2
又∵T與T的公倍數為2π
由上述定理可知，2π是函數y=1+y+y的一個周期，而在[0，2π]內，y、y都只有一個最大值點x=π/4
當x=2kπ+π/4(k∈Z)時，y=1+y+y=(3+2)/2
四、解方程
例4.解方程tg10x+tg2x=0
解:設y=tg10x，y=tg2x，則他們的最小正周期分別為T=π/10、T=π/2
由上述引理可知，它們的最小公倍數π/2就是函數y=tg10x+tg2x的一個周期.在[0，π/2]內，方程無意義的點的集合是M={π/20，3π/20，π/4，7π/20，9π/20}
將方程改寫為tg10x=tg(-2x)
10x=k-2x，即x=kπ/12(k∈Z)
當k取0，1，2，3，4，5，6時，x在[0，π/2]上的值分別為0，π/12，π/6，π/4，π/3，5π/12，π/2，但π/4∈M，故不能是方程的根.
原方程的根是x=nπ/2+kπ(0≤k≤6，k≠3，k∈Z，n∈Z)
五、解不等式
例5.解不等式cos3x+2cosx≤0
解：∵cos3x+2cosx=2cos2xcosx+cosx=cosx(2cos2x+1)≤0
由cosx=0，得x=kπ+π/2(k∈Z)
由(2cos2x+1)=0得x=kπ±π/3(k∈Z)
又y=cosx的周期T=2π，y=2cos2x+1的周期T=π，它們的最小公倍數2π，故在[0，2π]上，cosx=0的根為π/2，3π/2;(2cos2x+1)=0的根為π/3，，2π/3，4π/3，5π/3，所以cos3x+2cosx=0在[0，2π]有6個根，它們分別為π/2，3π/2，π/3，2π/3，4π/3，5π/3故不等式的解集為：
M={x|2kπ+π/3≤x≤2kπ+π/2}∪{x|2kπ+2π/3≤x≤2kπ+4π/3}∪{x|2kπ+3π/2≤x≤2kπ+5π/3}(k∈Z)
從以上幾類可以知道，從三角形的周期性解決數學問題，借助三角形周期性這一特殊性質可以解決相關數學問題并且使之簡單化，所以當我們利用三角形函數周期性解決這些問題時，前提是必須理解和掌握三角形的周期性.
參考文獻：
[1]姚偉國.用圖像法巧求三角函數的周期[J].職業技術教育，1999，(04).
[2]楊紹業.三角函數周期的求法[J].師范教育，1991，(06).
[3]柳俊峰.移動電話網絡的優化設計[J].數字技術與應用，2011，(08).
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